Как найти решение уравнения 2 sin²x + sinxcosx = cos2x?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения sin2x cos2x методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 2 sin²x + sinx cosx = cos2x, давайте последовательно разберем каждую часть уравнения и преобразуем его.

Шаг 1: Используем формулы тригонометрии

Мы знаем, что cos2x можно выразить через синусы и косинусы:

• cos2x = cos²x - sin²x
• cos2x = 1 - 2sin²x

Мы будем использовать вторую формулу, так как она связывает cos2x с sin²x.

Шаг 2: Подставляем cos2x в уравнение

Подставим cos2x в наше уравнение:

2 sin²x + sinx cosx = 1 - 2 sin²x

Шаг 3: Приводим подобные слагаемые

Переносим все слагаемые в одну сторону уравнения:

2 sin²x + sinx cosx + 2 sin²x - 1 = 0

Это упрощается до:

4 sin²x + sinx cosx - 1 = 0

Шаг 4: Замена переменной

Для удобства решения можем сделать замену: пусть y = sinx. Тогда cosx = √(1 - y²). Подставим это в уравнение:

4y² + y√(1 - y²) - 1 = 0

Шаг 5: Решаем уравнение

Теперь это уравнение можно решить численно или графически, но давайте попробуем решить его аналитически. Умножим обе стороны на √(1 - y²), чтобы избавиться от корня:

(4y² + y√(1 - y²))√(1 - y²) - 1√(1 - y²) = 0

Это может привести к сложному уравнению, поэтому проще будет вернуться к исходному уравнению и попробовать решить его другим способом.

Шаг 6: Пробуем найти корни

Вернемся к уравнению 4 sin²x + sinx cosx - 1 = 0 и попробуем решить его для sinx и cosx:

• Пробуем подставить значения sinx и cosx, например sinx = 0, 1, -1 и т.д.
• Также можно использовать численные методы, такие как метод Ньютона, для нахождения корней.

Шаг 7: Проверка корней

После нахождения корней не забудьте проверить их в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они подходят.

Таким образом, решение уравнения 2 sin²x + sinx cosx = cos2x требует использования тригонометрических преобразований и иногда численных методов для нахождения корней. Если у вас есть доступ к графическим калькуляторам, это может значительно упростить процесс.