Как найти решение уравнения 2cos(2 * 3x) + sin(π/2 - 3x) - 1 = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения cos и sin уравнение с косинусом уравнение с синусом методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения 2cos(2 * 3x) + sin(π/2 - 3x) - 1 = 0 следуем следующим шагам:

1. Упростим уравнение. Заменим sin(π/2 - 3x) на cos(3x) по формуле sin(π/2 - α) = cos(α). Тогда уравнение примет вид:
• 2cos(6x) + cos(3x) - 1 = 0.
2. Перепишем уравнение. Теперь у нас есть:
• 2cos(6x) + cos(3x) = 1.
3. Введем замену переменной. Обозначим y = cos(3x). Тогда cos(6x) можно выразить через y:
• cos(6x) = cos(2 * 3x) = 2cos^2(3x) - 1 = 2y^2 - 1.
4. Подставим выражение для cos(6x) в уравнение. Получаем:
• 2(2y^2 - 1) + y - 1 = 0.
5. Упростим уравнение. Раскроем скобки:
• 4y^2 - 2 + y - 1 = 0.
6. Соберем все слагаемые:
• 4y^2 + y - 3 = 0.
7. Решим квадратное уравнение. Используем формулу корней квадратного уравнения:
• y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 4, b = 1, c = -3.
8. Подставим значения a, b и c:
• D = 1² - 4 * 4 * (-3) = 1 + 48 = 49.
• y = (-1 ± √49) / (2 * 4) = (-1 ± 7) / 8.
9. Находим корни:
• y1 = (6) / 8 = 0.75,
• y2 = (-8) / 8 = -1.
10. Возвращаемся к переменной cos(3x):
• cos(3x) = 0.75,
• cos(3x) = -1.
11. Решим каждое из уравнений:
• Для cos(3x) = 0.75:
• 3x = arccos(0.75) + 2kπ или 3x = -arccos(0.75) + 2kπ, где k - любое целое число.
• Следовательно, x = (arccos(0.75) + 2kπ) / 3 или x = (-arccos(0.75) + 2kπ) / 3.
• Для cos(3x) = -1:
• 3x = π + 2kπ, где k - любое целое число.
• Следовательно, x = (π + 2kπ) / 3.
12. Запишем окончательные решения:
• x = (arccos(0.75) + 2kπ) / 3,
• x = (-arccos(0.75) + 2kπ) / 3,
• x = (π + 2kπ) / 3.

Таким образом, мы нашли все решения уравнения.