Как найти решение уравнения 2cos2x - 3 = 8cosx?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс 2cos²x 8cosx тригонометрические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение 2cos(2x) - 3 = 8cos(x), начнем с преобразования левой части уравнения. Используем формулу для косинуса двойного угла: cos(2x) = 2cos²(x) - 1. Подставим это в уравнение:

• 2(2cos²(x) - 1) - 3 = 8cos(x)

Теперь упростим выражение:

• 4cos²(x) - 2 - 3 = 8cos(x)
• 4cos²(x) - 5 = 8cos(x)

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

• 4cos²(x) - 8cos(x) - 5 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Обозначим cos(x) как t. Тогда уравнение примет вид:

• 4t² - 8t - 5 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

• t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Подставляем значения a = 4, b = -8, c = -5:

• t = (8 ± √((-8)² - 4 * 4 * (-5))) / (2 * 4)
• t = (8 ± √(64 + 80)) / 8
• t = (8 ± √144) / 8
• t = (8 ± 12) / 8

Теперь найдем два возможных значения t:

• t₁ = (8 + 12) / 8 = 20 / 8 = 2.5
• t₂ = (8 - 12) / 8 = -4 / 8 = -0.5

Теперь вспомним, что t = cos(x). Проверим, какие из этих значений допустимы:

• cos(x) = 2.5 - это значение не может быть, так как косинус ограничен от -1 до 1.
• cos(x) = -0.5 - это допустимое значение.

Теперь найдем углы, для которых cos(x) = -0.5:

• x = 2π/3 + 2kπ, где k - любое целое число (первый угол в 2-й четверти).
• x = 4π/3 + 2kπ, где k - любое целое число (второй угол в 3-й четверти).

Таким образом, общее решение уравнения 2cos(2x) - 3 = 8cos(x) будет:

• x = 2π/3 + 2kπ
• x = 4π/3 + 2kπ

где k - любое целое число.