Как найти решение уравнения 2sin²x + 2cosx = 2.5?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс 2sin²x + 2cosx = 2.5 тригонометрические уравнения метод решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 2sin²x + 2cosx = 2.5, следуем следующим шагам:

1. Упростим уравнение. Начнем с того, что разделим все члены уравнения на 2:
• sin²x + cosx = 1.25.
2. Используем основное тригонометрическое тождество. Мы знаем, что sin²x = 1 - cos²x. Подставим это в уравнение:
• (1 - cos²x) + cosx = 1.25.
3. Преобразуем уравнение. Упрощаем его:
• 1 - cos²x + cosx = 1.25.
• -cos²x + cosx + 1 - 1.25 = 0.
• -cos²x + cosx - 0.25 = 0.
• cos²x - cosx + 0.25 = 0.
4. Решаем квадратное уравнение. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cosx:
• cos²x - cosx + 0.25 = 0.
5. Используем формулу дискриминанта:
• D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * 0.25 = 1 - 1 = 0.
6. Находим корни уравнения. Поскольку дискриминант равен нулю, у нас есть один корень:
• cosx = -b / 2a = 1 / 2 = 0.5.
7. Находим углы, соответствующие найденному значению. Теперь мы должны найти x, для которого cosx = 0.5:
• cosx = 0.5, это значит, что x = π/3 + 2kπ или x = -π/3 + 2kπ, где k - любое целое число.

Ответ: Решения уравнения 2sin²x + 2cosx = 2.5 имеют вид:

• x = π/3 + 2kπ,
• x = -π/3 + 2kπ, где k - любое целое число.