Как найти решение уравнения 2sin²x - cos²x = sinx cosx?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения синус и косинус методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 2sin²x - cos²x = sinx cosx, следуем следующим шагам:

1. Приведем уравнение к стандартному виду. Мы можем использовать основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1, чтобы выразить cos²x через sin²x:
• cos²x = 1 - sin²x.
2. Подставим это выражение в уравнение. У нас получается:
• 2sin²x - (1 - sin²x) = sinx cosx.
3. Упростим уравнение. Раскроем скобки:
• 2sin²x - 1 + sin²x = sinx cosx.
• 3sin²x - 1 = sinx cosx.
4. Переносим все члены в одну сторону. Получаем:
• 3sin²x - sinx cosx - 1 = 0.
5. Теперь выразим cosx через sinx. Используем соотношение cosx = √(1 - sin²x) или cosx = -√(1 - sin²x). Однако, для упрощения мы можем оставить уравнение в текущем виде и решить его как квадратное уравнение относительно sinx.
6. Решим уравнение 3sin²x - sinx cosx - 1 = 0. Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:
• Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 3, b = -cosx, c = -1.
7. Подставляем значения:
• D = (-cosx)² - 4 * 3 * (-1) = cos²x + 12.
8. Так как D всегда положителен, у нас будет два действительных корня. Используем формулу корней квадратного уравнения:
• sinx = [cosx ± √(cos²x + 12)] / (2 * 3).
9. Теперь необходимо найти значения x, соответствующие найденным значениям sinx. Это можно сделать, используя обратную функцию синуса:
• x = arcsin(sinx) + 2kπ или x = π - arcsin(sinx) + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, у вас есть алгоритм для решения данного уравнения. Не забудьте проверить найденные корни на соответствие исходному уравнению.