Как найти решение уравнения 3sin(2x) + sin(x)cos(x) - 2cos(2x) = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции синус и косинус уравнение с синусом уравнение с косинусом Новый

Для решения уравнения 3sin(2x) + sin(x)cos(x) - 2cos(2x) = 0 мы будем использовать некоторые тригонометрические тождества и методы преобразования уравнений.

Шаг 1: Применим тригонометрические тождества.

• Заменим sin(2x) и cos(2x) на их выражения через sin(x) и cos(x):
• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
• cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 2cos²(x) - 1 = 1 - 2sin²(x)

Шаг 2: Подставим эти выражения в уравнение.

• 3sin(2x) = 3 * 2sin(x)cos(x) = 6sin(x)cos(x)
• -2cos(2x) = -2(2cos²(x) - 1) = -4cos²(x) + 2

После подстановки уравнение примет вид:

6sin(x)cos(x) + sin(x)cos(x) + 2 - 4cos²(x) = 0

Шаг 3: Объединим подобные слагаемые.

Получаем:

7sin(x)cos(x) - 4cos²(x) + 2 = 0

Шаг 4: Выразим cos²(x) через sin(x) и sin²(x):

Заменим cos²(x) на 1 - sin²(x):

7sin(x)cos(x) - 4(1 - sin²(x)) + 2 = 0

Шаг 5: Упростим уравнение:

• 7sin(x)cos(x) - 4 + 4sin²(x) + 2 = 0
• 7sin(x)cos(x) + 4sin²(x) - 2 = 0

Шаг 6: Теперь мы можем выразить cos(x) через sin(x):

Используем cos(x) = sqrt(1 - sin²(x)) и подставим это в уравнение.

Шаг 7: Перепишем уравнение:

7sin(x)sqrt(1 - sin²(x)) + 4sin²(x) - 2 = 0

Шаг 8: Теперь мы можем решить это уравнение численно или аналитически, подставляя значения sin(x) и проверяя полученные решения на удовлетворение исходному уравнению.

Шаг 9: После нахождения значений sin(x), не забудьте использовать обратные тригонометрические функции для нахождения x:

• x = arcsin(sin(x)) + k * π, где k - целое число.

Шаг 10: Проверьте каждое найденное решение в исходном уравнении, чтобы убедиться, что оно действительно является решением.

Таким образом, мы можем найти все решения данного уравнения.