Как найти решение уравнения 4sin2x - 2cos2x - sinx = 0? Пожалуйста, помогите.

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс 4sin2x 2cos²x sinx тригонометрические уравнения математические задачи помощь по алгебре методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 4sin(2x) - 2cos(2x) - sin(x) = 0, давайте сначала вспомним несколько тригонометрических тождеств, которые могут нам помочь.

Мы знаем, что:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
• cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 1 - 2sin²(x) = 2cos²(x) - 1

Теперь давайте заменим sin(2x) и cos(2x) в нашем уравнении:

1. Заменим sin(2x): 4sin(2x) = 4 * 2sin(x)cos(x) = 8sin(x)cos(x).
2. Заменим cos(2x): -2cos(2x) = -2(1 - 2sin²(x)) = -2 + 4sin²(x).

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

8sin(x)cos(x) - 2 + 4sin²(x) - sin(x) = 0.

Теперь упорядочим это уравнение:

4sin²(x) + 8sin(x)cos(x) - sin(x) - 2 = 0.

Давайте сгруппируем подобные члены:

4sin²(x) + (8cos(x) - 1)sin(x) - 2 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Обозначим y = sin(x). Тогда уравнение примет вид:

4y² + (8cos(x) - 1)y - 2 = 0.

Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где:

• a = 4,
• b = (8cos(x) - 1),
• c = -2.

Теперь подставим значения:

y = (-(8cos(x) - 1) ± √((8cos(x) - 1)² - 4 * 4 * (-2))) / (2 * 4).

Упростим подкоренное выражение:

(8cos(x) - 1)² + 32.

Теперь мы можем найти значения y (то есть sin(x)). После этого мы получим два значения y1 и y2, которые мы можем использовать для нахождения x:

sin(x) = y1 и sin(x) = y2.

Наконец, для получения значений x используем арксинус:

x = arcsin(y) + k * π, где k – целое число, так как синус имеет период 2π.

Таким образом, мы можем найти все решения уравнения 4sin(2x) - 2cos(2x) - sin(x) = 0.