Как найти решение уравнения 6sin^2x + 5cosx - 7 = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения sin и cos методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения 6sin²x + 5cosx - 7 = 0, начнем с того, что мы можем выразить sin²x через cosx. Используем основное тригонометрическое тождество:

sin²x + cos²x = 1

Отсюда мы можем выразить sin²x как:

sin²x = 1 - cos²x

Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

6(1 - cos²x) + 5cosx - 7 = 0

Раскроем скобки:

6 - 6cos²x + 5cosx - 7 = 0

Упрощаем уравнение:

-6cos²x + 5cosx - 1 = 0

Умножим все уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента перед cos²x:

6cos²x - 5cosx + 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cosx. Используем формулу для решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

cosx = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

В нашем случае:

• a = 6
• b = -5
• c = 1

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

cosx = (5 ± √((-5)² - 4 * 6 * 1)) / (2 * 6)

Вычислим дискриминант:

(-5)² - 4 * 6 * 1 = 25 - 24 = 1

Теперь подставим дискриминант в формулу:

cosx = (5 ± √1) / 12

Это дает нам два решения:

cosx = (5 + 1) / 12 = 6 / 12 = 0.5

или

cosx = (5 - 1) / 12 = 4 / 12 = 1/3

Теперь найдем значения x для каждого из случаев:

1. Когда cosx = 0.5:

cosx = 0.5 соответствует углам:

• x = π/3 + 2kπ
• x = 5π/3 + 2kπ

где k - любое целое число.

2. Когда cosx = 1/3:

Для этого значения найдем арккосинус:

x = arccos(1/3) + 2kπ

или

x = -arccos(1/3) + 2kπ

где k - любое целое число.

Таким образом, у нас есть все решения уравнения 6sin²x + 5cosx - 7 = 0. Не забудьте, что значения x могут быть выражены в радианах или градусах, в зависимости от требований задачи.