Как найти решение уравнения 7sin^2(x) - 6cos(x) + 6 = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения метод решения синус и косинус уравнения с синусом уравнения с косинусом Новый

Чтобы решить уравнение 7sin^2(x) - 6cos(x) + 6 = 0, сначала мы можем использовать тригонометрические тождества для преобразования уравнения. Мы знаем, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Подставим это в уравнение:

Шаг 1: Подстановка sin^2(x)

• 7(1 - cos^2(x)) - 6cos(x) + 6 = 0

Теперь раскроем скобки:

Шаг 2: Раскрытие скобок

• 7 - 7cos^2(x) - 6cos(x) + 6 = 0

Соберем все члены в одно уравнение:

Шаг 3: Приведение подобные члены

• -7cos^2(x) - 6cos(x) + 13 = 0

Теперь умножим все уравнение на -1 для удобства:

Шаг 4: Умножение на -1

• 7cos^2(x) + 6cos(x) - 13 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x). Обозначим cos(x) как t:

Шаг 5: Замена переменной

• 7t^2 + 6t - 13 = 0

Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a), где a = 7, b = 6, c = -13:

Шаг 6: Применение формулы решении квадратного уравнения

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 7 * (-13) = 36 + 364 = 400.
• Корни уравнения:
• t1 = (-6 + √400) / (2 * 7) = (-6 + 20) / 14 = 14 / 14 = 1.
• t2 = (-6 - √400) / (2 * 7) = (-6 - 20) / 14 = -26 / 14 = -13/7.

Шаг 7: Возвращение к cos(x)

• cos(x) = 1 или cos(x) = -13/7.

Теперь рассмотрим каждое из решений:

Шаг 8: Анализ решений

• cos(x) = 1: Это дает x = 0 + 2πk, где k - любое целое число.
• cos(x) = -13/7: Это значение не может быть, так как косинус не может принимать значения больше 1 или меньше -1.

Итак, окончательное решение:

• x = 0 + 2πk, где k - любое целое число.

Таким образом, единственным решением данного уравнения является x = 2πk, где k - любое целое число.