Как найти решение уравнения cos^2 x - 0,5sin 2x = 1?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра cos^2 x sin 2x тригонометрические уравнения 11 класс математика Новый

Для решения уравнения cos² x - 0,5sin 2x = 1 начнем с преобразования. Напомним, что sin 2x можно выразить через sin x и cos x:

• sin 2x = 2sin x * cos x

Теперь подставим это выражение в уравнение:

cos² x - 0,5 * 2sin x * cos x = 1

Упростим уравнение:

cos² x - sin x * cos x = 1

Теперь перенесем все члены в одну сторону:

cos² x - sin x * cos x - 1 = 0

Здесь мы видим, что у нас есть уравнение, содержащее cos x и sin x. Мы можем использовать тригонометрическую тождество sin² x + cos² x = 1, чтобы выразить sin² x через cos² x:

• sin² x = 1 - cos² x

Теперь попробуем выразить sin x через cos x:

sin x = √(1 - cos² x) (или -√(1 - cos² x), но мы рассмотрим только положительное значение для начала).

Подставим это значение в уравнение:

cos² x - √(1 - cos² x) * cos x - 1 = 0

Теперь это уравнение становится более сложным для решения, поэтому давайте попробуем другой подход. Вернемся к исходному уравнению и попробуем использовать другую тригонометрическую идентичность:

cos² x = 1 - sin² x

Подставим это в уравнение:

(1 - sin² x) - 0,5 * 2sin x * √(1 - sin² x) = 1

Теперь упростим это уравнение:

1 - sin² x - sin x * √(1 - sin² x) = 1

Сократим единицы:

-sin² x - sin x * √(1 - sin² x) = 0

Теперь вынесем sin x за скобки:

sin x(-sin x - √(1 - sin² x)) = 0

Это уравнение имеет два решения:

1. sin x = 0
2. -sin x - √(1 - sin² x) = 0

Решим первое уравнение:

sin x = 0 дает нам x = nπ, где n - целое число.

Теперь решим второе уравнение:

-sin x = √(1 - sin² x)

Квадратируем обе стороны:

sin² x = 1 - sin² x

Преобразуем:

2sin² x = 1

Отсюда получаем:

sin² x = 0,5

Следовательно, sin x = ±√0,5 = ±√2/2.

Это дает нам следующие значения:

• x = π/4 + kπ, где k - целое число (для sin x = √2/2)
• x = 3π/4 + kπ, где k - целое число (для sin x = -√2/2)

Таким образом, полное решение уравнения cos² x - 0,5sin 2x = 1 имеет вид:

x = nπ, x = π/4 + kπ, x = 3π/4 + kπ, где n и k - целые числа.