Как найти решение уравнения cos^2x - 5sinx + 1 = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения cos^2x 5sinx алгебра 11 класс тригонометрические уравнения метод решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение cos^2x - 5sinx + 1 = 0, нам нужно использовать тригонометрические идентичности, чтобы выразить все через одну тригонометрическую функцию. В данном случае мы можем воспользоваться тем, что cos^2x = 1 - sin^2x. Подставим это в уравнение.

Итак, начнем с замены:

1. Подставим cos^2x = 1 - sin^2x в уравнение:
2. 1 - sin^2x - 5sinx + 1 = 0.
3. Соберем все члены вместе:

Получаем:

-sin^2x - 5sinx + 2 = 0.

Теперь умножим все уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:

sin^2x + 5sinx - 2 = 0.

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно sinx. Обозначим sinx как t. Тогда уравнение примет вид:

t^2 + 5t - 2 = 0.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

t = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = 5, c = -2.

Подставим значения:

1. Дискриминант D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 1 * (-2) = 25 + 8 = 33.
2. Теперь находим корни:
3. t1 = (-5 + sqrt(33)) / 2 ≈ -0.5 (приблизительно),
4. t2 = (-5 - sqrt(33)) / 2 < -5 (приблизительно).

Теперь мы должны вернуть sinx в уравнение. У нас есть два значения t:

1. t1 = (-5 + sqrt(33)) / 2,
2. t2 = (-5 - sqrt(33)) / 2.

Теперь проверим, какие из этих значений допустимы для sinx. Поскольку sinx может принимать значения только в диапазоне [-1, 1], нам нужно проверить, попадают ли t1 и t2 в этот диапазон.

t1 ≈ -0.5, что допустимо, а t2 < -5, что недопустимо.

Теперь решим уравнение sinx = t1:

sinx = (-5 + sqrt(33)) / 2.

Для нахождения x мы можем использовать арксинус:

x = arcsin((-5 + sqrt(33)) / 2) + 2kπ и x = π - arcsin((-5 + sqrt(33)) / 2) + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, мы получили общее решение уравнения cos^2x - 5sinx + 1 = 0.