Как найти решение уравнения ctg(π/4 - x) = 5tg(2x) + 7?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения ctg tg алгебра 11 класс тригонометрические функции уравнения с ctg уравнения с tg математические методы решение тригонометрических уравнений Новый

Чтобы решить уравнение ctg(π/4 - x) = 5tg(2x) + 7, давайте разберем его шаг за шагом.

1. Начнем с преобразования левой части уравнения. Мы знаем, что ctg(α) = 1/tg(α), поэтому:

   ctg(π/4 - x) = 1/tg(π/4 - x)

2. Воспользуемся формулой для тангенса разности:

   tg(π/4 - x) = (tg(π/4) - tg(x)) / (1 + tg(π/4)tg(x))

   Так как tg(π/4) = 1, мы можем записать:

   tg(π/4 - x) = (1 - tg(x)) / (1 + tg(x))

3. Следовательно, ctg(π/4 - x) = 1/tg(π/4 - x) можно выразить как:

   ctg(π/4 - x) = (1 + tg(x)) / (1 - tg(x))

4. Теперь мы можем подставить это в уравнение:

   (1 + tg(x)) / (1 - tg(x)) = 5tg(2x) + 7

5. Теперь давайте упростим правую часть. Мы знаем, что tg(2x) = 2tg(x) / (1 - tg²(x)), поэтому:

   5tg(2x) = 10tg(x) / (1 - tg²(x))

6. Теперь подставим это в уравнение:

   (1 + tg(x)) / (1 - tg(x)) = 10tg(x) / (1 - tg²(x)) + 7

7. Умножим обе стороны уравнения на (1 - tg(x))(1 - tg²(x)), чтобы избавиться от дробей:

   (1 + tg(x))(1 - tg²(x)) = 10tg(x)(1 - tg(x)) + 7(1 - tg(x))(1 - tg²(x))

8. Теперь раскроем скобки и упростим уравнение. Это может потребовать некоторых алгебраических манипуляций:

   • (1 - tg²(x) + tg(x) - tg³(x)) = 10tg(x) - 10tg²(x) + 7 - 7tg(x) - 7tg²(x)

9. После упрощения мы можем собрать все члены в одну сторону и привести уравнение к стандартному виду:

   tg³(x) + (10 - 7)tg²(x) + (tg(x) - 10tg(x) + 7) + 1 = 0

10. Теперь у нас есть кубическое уравнение относительно tg(x). Мы можем решить его с помощью различных методов, например, методом подбора, разложения на множители или используя численные методы, если это необходимо.

После нахождения корней tg(x), не забудьте найти соответствующие значения x, учитывая, что tg(x) имеет период π.

Таким образом, мы можем получить все решения исходного уравнения.