Как найти решение уравнения ctgx = -4 - 3tgx?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс ctgx tgx уравнение с тангенсом нахождение корней уравнения алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения ctg(x) = -4 - 3tg(x) начнем с того, что вспомним, что котангенс и тангенс связаны между собой следующим образом:

ctg(x) = 1/tg(x)

Таким образом, можем переписать уравнение:

1/tg(x) = -4 - 3tg(x)

Теперь, чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на tg(x), при условии, что tg(x) ≠ 0:

1 = (-4 - 3tg(x)) * tg(x)

Раскроем скобки:

1 = -4tg(x) - 3tg^2(x)

Переносим все в одну сторону уравнения:

3tg^2(x) + 4tg(x) + 1 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно tg(x). Его можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения:

tg(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где:

• a = 3
• b = 4
• c = 1

Сначала находим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4

Теперь подставим значения в формулу:

tg(x) = (-4 ± √4) / (2 * 3)

Это дает нам два значения:

tg(x) = (-4 + 2) / 6 = -2/6 = -1/3

tg(x) = (-4 - 2) / 6 = -6/6 = -1

Теперь мы нашли два значения для tg(x): tg(x) = -1/3 и tg(x) = -1.

Теперь найдем x для каждого из этих значений. Помним, что тангенс имеет период π, поэтому решения будут иметь вид:

x = arctg(-1/3) + kπ

x = arctg(-1) + kπ

Где k - любое целое число.

Теперь найдем конкретные значения:

arctg(-1/3) - это значение, которое можно найти в калькуляторе или таблице значений. Приблизительно это равно -0.32175 радиан.

arctg(-1) - это значение равно -π/4 или -0.7854 радиан.

Таким образом, окончательные решения уравнения:

• x = -0.32175 + kπ (k ∈ Z)
• x = -0.7854 + kπ (k ∈ Z)

Это и есть все решения данного уравнения.