Как найти решение уравнения log5 x^2 + logx 5 + 3 = 0?

В данном уравнении числа, которые находятся рядом со знаком логарифма, выступают в роли оснований.

Алгебра 11 класс Логарифмы решение уравнения логарифмы алгебра 11 класс log5 x^2 logx 5 уравнение с логарифмами методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения log5 x^2 + logx 5 + 3 = 0 начнем с применения свойств логарифмов.

1. Используем первое свойство логарифмов: log_a b + log_a c = log_a (b * c). Мы можем переписать первое слагаемое:

• log5 x^2 = 2 * log5 x (по свойству логарифмов).

2. Подставим это в уравнение:

2 * log5 x + logx 5 + 3 = 0

3. Теперь преобразуем logx 5. По свойству логарифмов log_a b = 1 / log_b a, мы можем записать:

• logx 5 = 1 / log5 x.

4. Подставим это в уравнение:

2 * log5 x + 1 / log5 x + 3 = 0

5. Обозначим y = log5 x. Тогда уравнение примет вид:

2y + 1 / y + 3 = 0

6. Умножим все уравнение на y (при условии, что y ≠ 0):

2y^2 + 1 + 3y = 0

7. Перепишем уравнение в стандартной форме:

2y^2 + 3y + 1 = 0

8. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1.

9. Находим корни уравнения по формуле y = (-b ± √D) / (2a):

• y1 = (-3 + 1) / (2 * 2) = -2 / 4 = -0.5
• y2 = (-3 - 1) / (2 * 2) = -4 / 4 = -1

10. Теперь вернемся к переменной x. Мы помним, что y = log5 x, следовательно:

• log5 x = -0.5 означает x = 5^(-0.5) = 1 / √5.
• log5 x = -1 означает x = 5^(-1) = 1 / 5.

11. Проверим, что оба значения x положительны, так как логарифм определен только для положительных чисел.

Таким образом, окончательные решения уравнения:

• x = 1 / √5
• x = 1 / 5