Как найти решение уравнения sin(2x) + tg(x) = 4(cos^2)x?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс sin(2x) tg(x) cos^2 математические уравнения тригонометрические функции Новый

Давайте решим уравнение sin(2x) + tg(x) = 4(cos^2)x шаг за шагом.

Шаг 1: Преобразуем уравнение.

Сначала вспомним, что sin(2x) можно выразить через синус и косинус:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Также, тангенс можно выразить через синус и косинус:

• tg(x) = sin(x)/cos(x).

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

2sin(x)cos(x) + sin(x)/cos(x) = 4(cos^2)x.

Шаг 2: Приведем все к общему знаменателю.

Общий знаменатель для левой части уравнения будет cos(x). Умножим левую часть на cos(x):

• 2sin(x)cos^2(x) + sin(x) = 4cos^2(x)cos(x).

Теперь у нас есть:

2sin(x)cos^2(x) + sin(x) = 4cos^3(x).

Шаг 3: Переносим все в одну сторону.

Переносим 4cos^3(x) в левую часть:

2sin(x)cos^2(x) + sin(x) - 4cos^3(x) = 0.

Шаг 4: Выделим sin(x).

Здесь можно выделить sin(x):

sin(x)(2cos^2(x) + 1) - 4cos^3(x) = 0.

Шаг 5: Найдем корни уравнения.

Теперь у нас есть произведение, равное нулю, что означает, что один из множителей равен нулю:

• 1) sin(x) = 0,
• 2) 2cos^2(x) + 1 - 4cos^3(x) = 0.

Шаг 6: Решим первое уравнение.

sin(x) = 0, когда x = nπ, где n - целое число.

Шаг 7: Решим второе уравнение.

Теперь решим 2cos^2(x) + 1 - 4cos^3(x) = 0. Это кубическое уравнение относительно cos(x). Обозначим cos(x) = y:

2y^2 - 4y^3 + 1 = 0.

Можно решить это уравнение различными методами, например, методом подбора или через дискриминант.

Шаг 8: Найдем корни.

После нахождения корней уравнения, мы можем подставить их обратно для нахождения x:

• Если y = cos(x), то x = arccos(y) + 2kπ или x = -arccos(y) + 2kπ, где k - целое число.

Шаг 9: Подведение итогов.

Таким образом, у нас есть два типа решений: x = nπ и решения, полученные из второго уравнения. Не забудьте проверить все найденные значения на соответствие исходному уравнению.

Если у вас остались вопросы или нужны дополнительные пояснения, не стесняйтесь спрашивать!