Как найти решение уравнения sin 5x = sin 2x * cos 3x?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрии решение уравнения sin 5x sin 2x cos 3x алгебра 11 класс Новый

Чтобы решить уравнение sin 5x = sin 2x * cos 3x, мы можем использовать некоторые тригонометрические идентичности и свойства.

Шаг 1: Применим формулу произведения.

• Мы знаем, что sin A * cos B = (1/2) * (sin(A + B) + sin(A - B)). В нашем случае A = 2x и B = 3x.
• Таким образом, sin 2x * cos 3x = (1/2) * (sin(2x + 3x) + sin(2x - 3x)) = (1/2) * (sin 5x + sin(-x)).
• Так как sin(-x) = -sin x, мы можем переписать это как (1/2) * (sin 5x - sin x).

Шаг 2: Подставим это обратно в уравнение.

Теперь у нас есть:

sin 5x = (1/2) * (sin 5x - sin x)

Шаг 3: Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

2 * sin 5x = sin 5x - sin x

Шаг 4: Переносим все слагаемые на одну сторону:

2 * sin 5x - sin 5x + sin x = 0

Это упрощается до:

sin 5x + sin x = 0

Шаг 5: Выносим общий множитель:

sin x + sin 5x = 0 sin 5x = -sin x

Шаг 6: Используем свойство синуса:

sin 5x = sin(-x)

Шаг 7: Теперь у нас есть два случая для решения:

1. 5x = -x + 2kπ, где k - целое число.
2. 5x = π - (-x) + 2kπ или 5x = π + x + 2kπ.

Шаг 8: Решим первый случай:

5x + x = 2kπ 6x = 2kπ x = (kπ)/3

Шаг 9: Решим второй случай:

5x = π + x + 2kπ 5x - x = π + 2kπ 4x = π + 2kπ x = (π + 2kπ)/4

Таким образом, общее решение уравнения sin 5x = sin 2x * cos 3x можно записать как:

• x = (kπ)/3, где k - целое число.
• x = (π + 2kπ)/4, где k - целое число.

Это и есть решение уравнения. Если у вас есть вопросы по каждому из шагов, не стесняйтесь спрашивать!