Как найти решение уравнения sin(a)cos(a)/sin^2(a) - cos^2(a), если известно, что tg(a) = 3/2?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции tg(a) = 3/2 sin(a) cos(a) задачи по алгебре Новый

Чтобы решить уравнение sin(a)cos(a)/sin^2(a) - cos^2(a) = 0, зная, что tg(a) = 3/2, нам нужно выполнить несколько шагов.

Первым делом, давайте преобразуем данное уравнение. Мы можем выразить его в более удобной форме:

• Умножим обе стороны на sin^2(a), чтобы избавиться от дроби:

Получаем:

sin(a)cos(a) - cos^2(a)sin^2(a) = 0

Теперь можно вынести общий множитель:

cos(a)(sin(a) - cos(a)sin^2(a)) = 0

Это уравнение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая:

1. cos(a) = 0
2. sin(a) - cos(a)sin^2(a) = 0

Рассмотрим первый случай:

• Когда cos(a) = 0, это происходит при a = π/2 + kπ, где k – целое число.

Теперь перейдем ко второму случаю:

sin(a) = cos(a)sin^2(a)

Мы можем разделить обе стороны на sin(a) (при условии, что sin(a) ≠ 0), и получим:

1 = cos(a)sin(a)

Теперь мы знаем, что tg(a) = 3/2. Это значит, что:

• sin(a) = 3k
• cos(a) = 2k

где k – некоторый положительный множитель.

Теперь найдем sin^2(a) + cos^2(a) = 1:

(3k)^2 + (2k)^2 = 1

Это уравнение можно упростить:

9k^2 + 4k^2 = 1

Таким образом, получаем:

13k^2 = 1

Отсюда:

k^2 = 1/13

Следовательно, k = 1/sqrt(13).

Теперь подставим значение k обратно, чтобы найти sin(a) и cos(a):

• sin(a) = 3/sqrt(13)
• cos(a) = 2/sqrt(13)

Теперь мы можем подставить эти значения в уравнение:

cos(a)(sin(a) - cos(a)sin^2(a)) = 0

Мы видим, что оба случая дают нам возможные значения a. Теперь мы можем записать окончательный ответ:

Решение уравнения sin(a)cos(a)/sin^2(a) - cos^2(a) = 0 будет:

• a = π/2 + kπ, где k – целое число;
• sin(a) = 3/sqrt(13) и cos(a) = 2/sqrt(13).