Как найти решение уравнения sin(a)cos(a)/sin^2(a) - cos^2(a),если известно, что tg(a) = 3/2?
Алгебра11 классТригонометрические уравнениярешение уравненияалгебра 11 класстригонометрические функцииtg(a) = 3/2sin(a)cos(a)задачи по алгебре
Чтобы решить уравнение sin(a)cos(a)/sin^2(a) - cos^2(a) = 0, зная, что tg(a) = 3/2, нам нужно выполнить несколько шагов.
Первым делом, давайте преобразуем данное уравнение. Мы можем выразить его в более удобной форме:
Получаем:
sin(a)cos(a) - cos^2(a)sin^2(a) = 0Теперь можно вынести общий множитель:
cos(a)(sin(a) - cos(a)sin^2(a)) = 0Это уравнение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая:
Рассмотрим первый случай:
Теперь перейдем ко второму случаю:
sin(a) = cos(a)sin^2(a)Мы можем разделить обе стороны на sin(a) (при условии, что sin(a) ≠ 0),и получим:
1 = cos(a)sin(a)Теперь мы знаем, что tg(a) = 3/2. Это значит, что:
где k – некоторый положительный множитель.
Теперь найдем sin^2(a) + cos^2(a) = 1:
(3k)^2 + (2k)^2 = 1Это уравнение можно упростить:
9k^2 + 4k^2 = 1Таким образом, получаем:
13k^2 = 1Отсюда:
k^2 = 1/13Следовательно, k = 1/sqrt(13).
Теперь подставим значение k обратно, чтобы найти sin(a) и cos(a):
Теперь мы можем подставить эти значения в уравнение:
cos(a)(sin(a) - cos(a)sin^2(a)) = 0Мы видим, что оба случая дают нам возможные значения a. Теперь мы можем записать окончательный ответ:
Решение уравнения sin(a)cos(a)/sin^2(a) - cos^2(a) = 0 будет: