Как найти решение уравнения sin x sin 2x sin 3x = 0.25 sin 4x?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения sin x sin 2x sin 3x sin 4x алгебра 11 класс тригонометрические уравнения методы решения уравнений математические задачи обучение алгебре Новый

Для решения уравнения sin x sin 2x sin 3x = 0.25 sin 4x мы можем следовать нескольким шагам. Давайте разберем их по порядку.

1. Перепишем уравнение:

   Сначала упростим уравнение, чтобы лучше понять, как его решать. Мы можем переписать правую часть уравнения:

   0.25 sin 4x = (1/4) sin 4x.

   Таким образом, уравнение становится:

   sin x sin 2x sin 3x - (1/4) sin 4x = 0.

2. Используем тригонометрические идентичности:

   Мы знаем, что sin 4x можно выразить через синусы меньших углов. Используя формулы синуса, получаем:

   sin 4x = 2 sin 2x cos 2x.

   Теперь подставим это в уравнение:

   sin x sin 2x sin 3x - (1/4) * 2 sin 2x cos 2x = 0.

   Упростим уравнение:

   sin x sin 2x sin 3x - (1/2) sin 2x cos 2x = 0.

   Теперь можно вынести общий множитель sin 2x:

3. Вынесение общего множителя:

   Вынесем sin 2x:

   sin 2x (sin x sin 3x - (1/2) cos 2x) = 0.

   Теперь у нас есть два множителя, приравняем каждый из них к нулю:

4. Решаем первое уравнение:
   • sin 2x = 0.
   • Это уравнение имеет решения:
   • 2x = nπ, где n - целое число.
   • Следовательно, x = nπ/2.
5. Решаем второе уравнение:

   sin x sin 3x - (1/2) cos 2x = 0.

   Здесь можно использовать формулы произведения:

   sin x sin 3x = (1/2)(cos(2x) - cos(4x)).

   Таким образом, у нас получается:

   (1/2)(cos(2x) - cos(4x)) - (1/2) cos(2x) = 0.

   Упростим это уравнение:

   cos(2x) - cos(4x) - cos(2x) = 0, что приводит к:

   -cos(4x) = 0.

   Отсюда:

   cos(4x) = 0.

   Это уравнение имеет решения:

   4x = (2n + 1)π/2, где n - целое число.

   Следовательно, x = (2n + 1)π/8.

6. Объединяем все решения:

   Теперь мы можем объединить все найденные решения:

   • x = nπ/2, где n - целое число.
   • x = (2n + 1)π/8, где n - целое число.

Таким образом, у нас есть полный набор решений для уравнения sin x sin 2x sin 3x = 0.25 sin 4x.