Как найти решение уравнения (x² - 5x)² + 10(x² - 5x) + 24 = 0? Прошу предоставить полное решение.

Алгебра 11 класс Уравнения с параметрами решение уравнения алгебра 11 класс квадратное уравнение метод решения уравнение с двумя переменными математическое решение алгебраические выражения Новый

Чтобы решить уравнение (x² - 5x)² + 10(x² - 5x) + 24 = 0, начнем с упрощения выражения. Давайте введем замену:

• Обозначим: y = x² - 5x.

Теперь наше уравнение принимает вид:

• y² + 10y + 24 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

• Формула корней квадратного уравнения: y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 10, c = 24.

Сначала найдем дискриминант:

• D = b² - 4ac = 10² - 4 * 1 * 24 = 100 - 96 = 4.

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

• y₁ = (-10 + √4) / 2 = (-10 + 2) / 2 = -8 / 2 = -4;
• y₂ = (-10 - √4) / 2 = (-10 - 2) / 2 = -12 / 2 = -6.

Теперь вернемся к нашей замене y. У нас есть два уравнения:

• x² - 5x = -4;
• x² - 5x = -6.

Решим первое уравнение:

• x² - 5x + 4 = 0.

Находим дискриминант:

• D = (-5)² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9.

Корни уравнения:

• x₁ = (5 + √9) / 2 = (5 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4;
• x₂ = (5 - √9) / 2 = (5 - 3) / 2 = 2 / 2 = 1.

Теперь решим второе уравнение:

• x² - 5x + 6 = 0.

Находим дискриминант:

• D = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1.

Корни уравнения:

• x₁ = (5 + √1) / 2 = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3;
• x₂ = (5 - √1) / 2 = (5 - 1) / 2 = 4 / 2 = 2.

Таким образом, мы нашли все корни исходного уравнения:

• x = 1;
• x = 2;
• x = 3;
• x = 4.

Ответ: x = 1, 2, 3, 4.