Как найти решения следующих уравнений, применяя тригонометрические формулы:

1. 2sin^2 3x = √3sin3x
2. 3 - 3cosx = 2sin^2x

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнения тригонометрические формулы алгебра 11 класс решение уравнений синус косинус математические методы алгебраические уравнения Новый

Решение данных уравнений начинается с приведения их к стандартному виду и применения тригонометрических формул. Давайте разберем каждое уравнение по отдельности.

1. Уравнение: 2sin^2(3x) = √3sin(3x)

Первым шагом будет перенести все члены на одну сторону уравнения:

• 2sin^2(3x) - √3sin(3x) = 0

Теперь мы можем вынести общий множитель:

• sin(3x)(2sin(3x) - √3) = 0

Теперь у нас есть два множителя, которые мы можем приравнять к нулю:

1. sin(3x) = 0
2. 2sin(3x) - √3 = 0

Решим первое уравнение:

• sin(3x) = 0
• 3x = nπ, где n - целое число
• x = nπ/3

Теперь решим второе уравнение:

• 2sin(3x) = √3
• sin(3x) = √3/2

Здесь мы знаем, что sin(θ) = √3/2 при θ = π/3 + 2kπ и θ = 2π/3 + 2kπ, где k - целое число. Таким образом, мы имеем:

• 3x = π/3 + 2kπ
• 3x = 2π/3 + 2kπ

Теперь делим на 3:

• x = π/9 + 2kπ/3
• x = 2π/9 + 2kπ/3

Таким образом, решения первого уравнения:

• x = nπ/3
• x = π/9 + 2kπ/3
• x = 2π/9 + 2kπ/3

2. Уравнение: 3 - 3cos(x) = 2sin^2(x)

Сначала упростим уравнение:

• 3 - 3cos(x) - 2sin^2(x) = 0

Используем тригонометрическую идентичность sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

• 3 - 3cos(x) - 2(1 - cos^2(x)) = 0

Упростим это уравнение:

• 3 - 3cos(x) - 2 + 2cos^2(x) = 0
• 2cos^2(x) - 3cos(x) + 1 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно cos(x). Используем формулу дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*1 = 9 - 8 = 1

Находим корни уравнения:

• cos(x) = (3 ± √1) / (2*2)
• cos(x) = 4/4 = 1
• cos(x) = 2/4 = 1/2

Теперь решим каждое из уравнений:

1. cos(x) = 1
2. x = 2kπ, где k - целое число
3. cos(x) = 1/2
4. x = π/3 + 2kπ и x = 5π/3 + 2kπ

Таким образом, решения второго уравнения:

• x = 2kπ
• x = π/3 + 2kπ
• x = 5π/3 + 2kπ

В итоге, мы нашли все решения для обоих уравнений, используя тригонометрические формулы и методы решения уравнений.