Как найти Sin(x + П/4) * Cos(x - П/3) * Sin 2x, если дано Sin x = 0.8 и П/2 < x < П?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их свойства алгебра 11 класс тригонометрические функции sin cos уравнения решение задач Sin x = 0.8 диапазон x нахождение значений математический анализ Новый

Для решения задачи нам нужно использовать известные значения тригонометрических функций и некоторые тригонометрические формулы. Давайте начнем с того, что у нас есть значение Sin x и диапазон для x.

Шаг 1: Найдем Cos x.

Мы знаем, что Sin x = 0.8. Поскольку x находится в диапазоне (П/2, П), то Cos x будет отрицательным. Используем основное тригонометрическое тождество:

Sin² x + Cos² x = 1.

Подставим значение Sin x:

• 0.8² + Cos² x = 1,
• 0.64 + Cos² x = 1,
• Cos² x = 1 - 0.64 = 0.36,
• Cos x = -√0.36 = -0.6 (выбираем отрицательное значение, так как x находится в 2-й четверти).

Шаг 2: Найдем Sin(x + П/4) и Cos(x - П/3).

Используем формулы для суммы углов:

• Sin(a + b) = Sin a * Cos b + Cos a * Sin b,
• Cos(a - b) = Cos a * Cos b + Sin a * Sin b.

Теперь подставим a = x и b = П/4:

• Sin(x + П/4) = Sin x * Cos(П/4) + Cos x * Sin(П/4.
• Cos(П/4) = Sin(П/4) = √2/2.

Подставим значения:

• Sin(x + П/4) = 0.8 * √2/2 + (-0.6) * √2/2 = (0.8 - 0.6) * √2/2 = 0.2 * √2/2 = 0.1√2.

Теперь найдем Cos(x - П/3):

• Cos(x - П/3) = Cos x * Cos(П/3) + Sin x * Sin(П/3).
• Cos(П/3) = 0.5, Sin(П/3) = √3/2.

Подставим значения:

• Cos(x - П/3) = (-0.6) * 0.5 + 0.8 * (√3/2) = -0.3 + 0.4√3.

Шаг 3: Найдем Sin 2x.

Используем формулу:

• Sin 2x = 2 * Sin x * Cos x = 2 * 0.8 * (-0.6) = -0.96.

Шаг 4: Подставим все найденные значения в исходное выражение.

Теперь мы можем подставить все найденные значения в выражение:

• Sin(x + П/4) * Cos(x - П/3) * Sin 2x = (0.1√2) * (-0.3 + 0.4√3) * (-0.96).

Шаг 5: Упростим выражение.

Сначала найдем произведение:

• (0.1√2) * (-0.3 + 0.4√3) = -0.03√2 + 0.04√6.

Теперь умножим на -0.96:

• -0.96 * (-0.03√2 + 0.04√6) = 0.0288√2 - 0.0384√6.

Таким образом, окончательный ответ:

0.0288√2 - 0.0384√6.