Как найти точку максимума функции y=2ln(x+4)^3-8x-19?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций точка максимума функция y 2ln(x+4)^3 8x 19 алгебра нахождение максимума производная функции критические точки анализ функции Новый

Чтобы найти точку максимума функции y = 2ln((x+4)^3) - 8x - 19, нам нужно выполнить несколько шагов, связанных с нахождением производной функции и её анализом.

Шаг 1: Найдите производную функции.

Нам необходимо найти первую производную функции y по переменной x. Используем правило производной для логарифмической функции и производную линейной функции:

• Производная ln(u) = (1/u) * (du/dx), где u = (x + 4)^3.
• Производная (x + 4)^3 = 3(x + 4)^2.
• Производная -8x = -8.

Таким образом, производная функции y будет выглядеть так:

y' = 2 * (1/(x + 4)^3) * 3(x + 4)^2 - 8.

Упростим это выражение:

y' = (6/(x + 4)) - 8.

Шаг 2: Найдите критические точки.

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

0 = (6/(x + 4)) - 8.

Решим уравнение:

• 8 = 6/(x + 4).
• 8(x + 4) = 6.
• 8x + 32 = 6.
• 8x = 6 - 32.
• 8x = -26.
• x = -26/8 = -3.25.

Шаг 3: Проверьте, является ли точка максимумом.

Для этого найдем вторую производную функции y. Если вторая производная в критической точке отрицательна, то это будет точка максимума.

Найдём вторую производную:

y'' = d/dx(6/(x + 4)) = -6/(x + 4)^2.

Теперь подставим x = -3.25:

y''(-3.25) = -6/((-3.25) + 4)^2 = -6/(0.75)^2 = -6/0.5625 = -10.67 (приблизительно).

Так как y'' < 0, это подтверждает, что в точке x = -3.25 находится максимум.

Шаг 4: Найдите значение функции в точке максимума.

Теперь подставим x = -3.25 в исходную функцию, чтобы найти значение максимума:

y(-3.25) = 2ln((-3.25 + 4)^3) - 8(-3.25) - 19.

y(-3.25) = 2ln(0.75^3) + 26 - 19.

y(-3.25) = 2ln(0.421875) + 7.

Теперь вычисляем ln(0.421875) и подставляем в формулу. После вычислений мы получим значение функции в точке максимума.

Таким образом, точка максимума функции y = 2ln((x+4)^3) - 8x - 19 находится в x = -3.25.