Как найти точку максимума функции y = log3(11 + 4x - x^2) - 2? Слышал, что можно найти эту точку, просто уничтожив логарифм. Как это сделать?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций найти точку максимума функция y log3 11 + 4x - x^2 уничтожить логарифм алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти точку максимума функции y = log3(11 + 4x - x^2) - 2, мы будем следовать определенным шагам. Начнем с того, что действительно можно "уничтожить" логарифм, но для этого необходимо рассмотреть саму функцию, которая находится под логарифмом.

Шаг 1: Определим область определения функции.

Логарифм определен только для положительных аргументов, поэтому нам нужно решить неравенство:

• 11 + 4x - x^2 > 0.

Это неравенство можно переписать в стандартной форме:

• -x^2 + 4x + 11 > 0.

Решим уравнение -x^2 + 4x + 11 = 0, чтобы найти границы области определения.

Шаг 2: Найдем корни квадратного уравнения.

Для этого используем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4*(-1)*11 = 16 + 44 = 60.

Корни уравнения находятся по формуле:

• x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (4 + sqrt(60)) / (-2) = -2 + sqrt(15),
• x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (4 - sqrt(60)) / (-2) = -2 - sqrt(15).

Теперь мы можем определить, где функция положительна. Это будет интервал между корнями.

Шаг 3: Найдем производную функции.

Теперь, когда мы знаем область определения, найдем производную функции:

• y' = (1 / (11 + 4x - x^2)) * (4 - 2x).

Чтобы найти точки максимума, приравняем производную к нулю:

• 4 - 2x = 0.

Решая это уравнение, получаем:

• 2x = 4,
• x = 2.

Шаг 4: Проверим, находится ли x = 2 в области определения.

Теперь проверим, входит ли x = 2 в наш интервал, который мы нашли ранее (между корнями). Если да, то это точка максимума.

Подставим x = 2 в неравенство:

• 11 + 4*2 - 2^2 = 11 + 8 - 4 = 15 > 0.

Это значит, что x = 2 действительно принадлежит области определения функции.

Шаг 5: Проверим, является ли это максимумом.

Для этого можно использовать второй производный тест или просто проанализировать поведение функции:

• y' > 0 при x < 2 и y' < 0 при x > 2, что указывает на максимум.

Шаг 6: Найдем значение функции в точке максимума.

Теперь подставим x = 2 в исходную функцию:

• y = log3(11 + 4*2 - 2^2) - 2 = log3(15) - 2.

Таким образом, точка максимума функции y = log3(11 + 4x - x^2) - 2 находится при x = 2, и значение функции в этой точке равно log3(15) - 2.