Для нахождения точки максимума функции f(x) = x³ - 75x - 24sin(7π/6), необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найти производную функции f(x). Производная функции поможет нам определить, где функция достигает максимумов и минимумов. Для функции f(x) производная f'(x) будет равна:
• f'(x) = 3x² - 75.
2. Определить критические точки. Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
• 3x² - 75 = 0.
• 3x² = 75.
• x² = 25.
• x = ±5.
3. Определить, является ли каждая критическая точка максимумом или минимумом. Для этого можно использовать второй производный тест. Сначала найдем вторую производную:
• f''(x) = 6x.

Теперь подставим критические точки в f''(x):

• Для x = 5: f''(5) = 6 * 5 = 30 (положительное значение, значит, это минимум).
• Для x = -5: f''(-5) = 6 * (-5) = -30 (отрицательное значение, значит, это максимум).
4. Найти значение функции в точке максимума. Теперь подставим x = -5 в исходную функцию f(x):
• f(-5) = (-5)³ - 75 * (-5) - 24sin(7π/6).
• f(-5) = -125 + 375 - 24sin(7π/6).
• Значение sin(7π/6) равно -1/2, поэтому:
• f(-5) = -125 + 375 + 12 = 262.
5. Сложить координату точки максимума и значение максимума. Мы нашли, что точка максимума x = -5 и максимум функции f(-5) = 262. Теперь найдем их сумму:
• Сумма = -5 + 262 = 257.

Ответ: Сумма точки максимума и максимума функции равна 257.