Для решения системы неравностей {2x² + 7x - 9 > 0, x² - 9 < 0} нам нужно решить каждую неравенство по отдельности, а затем найти их пересечение.

Сначала решим неравенство x² - 9 < 0. Это можно переписать в виде:

• x² < 9

Теперь извлечем корень из обеих сторон:

• -3 < x < 3

Таким образом, решение данного неравенства - это интервал (-3, 3).

Теперь перейдем ко второму неравенству 2x² + 7x - 9 > 0. Для начала найдем корни соответствующего уравнения 2x² + 7x - 9 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = 7² - 4 * 2 * (-9) = 49 + 72 = 121

Теперь находим корни:

• x₁ = (-b - √D) / (2a) = (-7 - 11) / 4 = -18 / 4 = -4.5
• x₂ = (-b + √D) / (2a) = (-7 + 11) / 4 = 4 / 4 = 1

Теперь мы знаем, что корни уравнения 2x² + 7x - 9 = 0 - это x₁ = -4.5 и x₂ = 1. Мы можем использовать эти корни для определения знаков на интервалах:

• Интервалы: (-∞, -4.5), (-4.5, 1), (1, +∞)

Теперь проверим знак выражения 2x² + 7x - 9 на каждом из интервалов:

• Для x < -4.5 (например, x = -5): 2(-5)² + 7(-5) - 9 = 50 - 35 - 9 = 6 > 0
• Для -4.5 < x < 1 (например, x = 0): 2(0)² + 7(0) - 9 = -9 < 0
• Для x > 1 (например, x = 2): 2(2)² + 7(2) - 9 = 8 + 14 - 9 = 13 > 0

Таким образом, неравенство 2x² + 7x - 9 > 0 выполняется на интервалах (-∞, -4.5) и (1, +∞).

Теперь мы имеем два интервала:

• Для x² - 9 < 0: (-3, 3)
• Для 2x² + 7x - 9 > 0: (-∞, -4.5) и (1, +∞)

Теперь найдем пересечение этих интервалов:

• Пересечение (-3, 3) и (-∞, -4.5) - пустое множество, так как -4.5 меньше -3.
• Пересечение (-3, 3) и (1, +∞) - это интервал (1, 3).

Теперь нам нужно найти целые числа в интервале (1, 3):

• Целые числа: 2

Таким образом, единственное целое решение данной системы неравенств - это x = 2.