Давайте разберем каждое из выражений по порядку и найдем их значения.

Сначала упростим угол 31П/6. Заметим, что 31П/6 можно представить как:

• 31П/6 = 30П/6 + П/6 = 5П + П/6.

Так как тангенс имеет период П, мы можем вычесть 5П:

• Tg(31П/6) = Tg(П/6).

Теперь найдем Tg(П/6),используя известное значение:

• Tg(П/6) = 1/√3.

Таким образом:

• Tg(31П/6) = 1/√3.

Сначала найдем значения Tg(П/6) и Tg(П/3):

• Tg(П/6) = 1/√3,
• Tg(П/3) = √3.

Теперь подставим эти значения в выражение:

• 2 Tg(П/6) = 2 * (1/√3) = 2/√3.
• 2 Tg(П/6) - Tg(П/3) = 2/√3 - √3.

Чтобы вычесть эти дроби, приведем к общему знаменателю:

• √3 = √3 * √3/√3 = 3/√3.
• Таким образом, 2/√3 - 3/√3 = (2 - 3)/√3 = -1/√3.

Теперь найдем cos(П/6):

• cos(П/6) = √3/2.

Теперь подставим все в итоговое выражение:

• (-1/√3) / (√3/2) = -1/√3 * 2/√3 = -2/3.

Таким образом:

• (2 Tg(П/6) - Tg(П/3)) / cos(П/6) = -2/3.

Сначала упростим угол 13П/4. Мы можем вычесть 3П/2 (или 6П/4) для получения эквивалентного угла:

• 13П/4 - 3П/2 = 13П/4 - 6П/4 = 7П/4.

Теперь найдем Ctg(7П/4). Мы знаем, что Ctg(x) = 1/Tg(x),и Tg(7П/4) = Tg(П/4) = 1:

• Ctg(7П/4) = 1/Tg(7П/4) = 1.

Таким образом:

• Ctg(13П/4) = 1.

Упростим угол 19П/3. Мы можем вычесть 6П (или 18П/3):

• 19П/3 - 18П/3 = П/3.

Теперь найдем cos(П/3):

• cos(П/3) = 1/2.

Таким образом:

• cos(19П/3) = 1/2.

Итак, подводя итог, мы получили следующие значения:

• Tg(31П/6) = 1/√3;
• (2 Tg(П/6) - Tg(П/3)) / cos(П/6) = -2/3;
• Ctg(13П/4) = 1;
• cos(19П/3) = 1/2.