Как определить координаты точки максимума функции

y= -x/(x^2+16)?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций координаты точки максимума функция алгебра 11 класс y = -x/(x^2+16) нахождение максимума функции Новый

Чтобы найти координаты точки максимума функции y = -x/(x² + 16), мы будем использовать методы дифференцирования. Следуйте этим шагам:

1. Найдите производную функции:

   Сначала найдем производную функции y по x. Для этого воспользуемся правилом частного:

   Если u = -x и v = x² + 16, то производная y будет вычисляться по формуле:

   (u/v)' = (u'v - uv') / v²,

   где u' = -1, v' = 2x.

   Подставляя эти значения, получаем:

   y' = [(-1)(x² + 16) - (-x)(2x)] / (x² + 16)².

   Упростим это выражение:

   y' = [-(x² + 16) + 2x²] / (x² + 16)² = (x² - 16) / (x² + 16)².

2. Найдите критические точки:

   Теперь, чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

   x² - 16 = 0.

   Решая это уравнение, получаем:

   • x² = 16,
   • x = ±4.
3. Определите, является ли точка максимумом или минимумом:

   Для этого можно использовать второй производный тест. Найдем вторую производную функции:

   y'' = [(2x)(x² + 16)² - (x² - 16)(2)(x² + 16)(2x)] / (x² + 16)⁴.

   Чтобы упростить, можно подставить значения x = 4 и x = -4 в первую производную y'.

   Если y'' < 0, то точка является максимумом. Если y'' > 0, то минимумом.

4. Найдите значение функции в критических точках:

   Теперь подставим найденные значения x в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:

   • Для x = 4: y(4) = -4/(4² + 16) = -4/32 = -1/8.
   • Для x = -4: y(-4) = -(-4)/(16 + 16) = 4/32 = 1/8.

Таким образом, у нас есть две критические точки: (4, -1/8) и (-4, 1/8). Чтобы определить, где находится максимум, сравните значения y:

-1/8 < 1/8, значит, точка (-4, 1/8) является точкой максимума.

Ответ: Координаты точки максимума функции y = -x/(x² + 16) - это (-4, 1/8).