Как определить координаты точки минимума для функции y = -4/3 x^3 - 3x^2 + 4x + 12?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций координаты точки минимума функция y алгебра 11 класс нахождение минимума анализ функции кубическая функция математический анализ производная функции Новый

Чтобы определить координаты точки минимума функции y = -4/3 x^3 - 3x^2 + 4x + 12, нам нужно выполнить несколько шагов. Мы будем использовать методы дифференцирования для нахождения критических точек и анализа их свойств.

1. Найти производную функции.

   Первым шагом мы найдем первую производную функции y по x. Это позволит нам определить, где функция имеет критические точки.

   y' = d/dx(-4/3 x^3 - 3x^2 + 4x + 12) = -4x^2 - 6x + 4.

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не определена. Мы приравняем производную к нулю:

   -4x^2 - 6x + 4 = 0.

   Умножим уравнение на -1 для упрощения:

   4x^2 + 6x - 4 = 0.

   Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

   x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 4, b = 6, c = -4.

   Подставим значения:

   x = (-6 ± √(6² - 4 * 4 * (-4))) / (2 * 4) = (-6 ± √(36 + 64)) / 8 = (-6 ± √100) / 8 = (-6 ± 10) / 8.

   Таким образом, получаем два значения:

   • x₁ = (4) / 8 = 0.5,
   • x₂ = (-16) / 8 = -2.
3. Проверить, является ли точка минимумом или максимумом.

   Для этого мы можем использовать вторую производную:

   y'' = d²/dx²(-4/3 x^3 - 3x^2 + 4x + 12) = -8x - 6.

   Теперь подставим найденные значения x в вторую производную:

   • Для x = 0.5: y''(0.5) = -8(0.5) - 6 = -4 - 6 = -10 (отрицательное значение, значит, это максимум).
   • Для x = -2: y''(-2) = -8(-2) - 6 = 16 - 6 = 10 (положительное значение, значит, это минимум).
4. Найти координаты точки минимума.

   Теперь, когда мы знаем, что x = -2 является точкой минимума, подставим это значение в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y:

   y(-2) = -4/3(-2)^3 - 3(-2)^2 + 4(-2) + 12 = -4/3(-8) - 3(4) - 8 + 12.

   Упрощаем: y(-2) = 32/3 - 12 - 8 + 12 = 32/3 - 12 = 32/3 - 36/3 = -4/3.

Таким образом, координаты точки минимума функции y = -4/3 x^3 - 3x^2 + 4x + 12 равны (-2, -4/3).