Как определить координаты точки минимума функции y=4/x^2 + x + 4?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций координаты точки минимума функция y=4/x^2 + x + 4 алгебра 11 класс нахождение минимума функции анализ функций Новый

Чтобы определить координаты точки минимума функции y = 4/x^2 + x + 4, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти производную функции

Первым делом мы найдем производную функции y по x. Это поможет нам определить точки, в которых функция достигает минимума или максимума.

• Функция y = 4/x^2 + x + 4 может быть переписана как y = 4x^(-2) + x + 4.
• Теперь найдем производную:
• y' = d(4x^(-2))/dx + d(x)/dx + d(4)/dx.
• Производная от 4x^(-2) = -8x^(-3), производная от x = 1, а производная от 4 = 0.
• Таким образом, y' = -8/x^3 + 1.

Шаг 2: Найти критические точки

Теперь мы найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

• 0 = -8/x^3 + 1.
• Переносим 1 на другую сторону: 8/x^3 = 1.
• Умножаем обе стороны на x^3: 8 = x^3.
• Теперь находим x: x = 2.

Шаг 3: Определить, является ли критическая точка минимумом

Для проверки, является ли найденная критическая точка минимумом, мы можем использовать второй производный тест:

• Найдем вторую производную функции:
• y'' = d(-8/x^3)/dx + d(1)/dx.
• Вторая производная от -8/x^3 = 24/x^4, а производная от 1 = 0.
• Таким образом, y'' = 24/x^4.
• Теперь подставим x = 2 в вторую производную: y''(2) = 24/(2^4) = 24/16 = 1.

<li>Поскольку y''(2) > 0, это говорит нам о том, что в точке x = 2 находится минимум.</li>

Шаг 4: Найти координату y

Теперь мы можем найти значение функции y в точке x = 2:

• y(2) = 4/(2^2) + 2 + 4.
• y(2) = 4/4 + 2 + 4 = 1 + 2 + 4 = 7.

Итак, координаты точки минимума функции:

Минимум функции y = 4/x^2 + x + 4 достигается в точке (2, 7).