Как определить координаты точки минимума функции y, которая задана формулой y=x√x - 3x + 17?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций координаты точки минимума функция y формула y=x√x - 3x + 17 алгебра 11 класс нахождение минимума функции Новый

Чтобы найти координаты точки минимума функции y = x√x - 3x + 17, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции.

Для начала, мы найдем производную функции y по переменной x. Используя правила дифференцирования, мы получаем:

• Производная от x√x: здесь мы можем использовать правило произведения. Обозначим u = x и v = √x. Тогда:
• u' = 1
• v' = 1/(2√x)
• Производная u*v = u*v' + v*u' = x*(1/(2√x)) + √x*1 = (x/(2√x)) + √x = (x + 2x)/2√x = (3x)/(2√x).
• Производная от -3x равна -3.
• Производная от 17 равна 0.

Таким образом, производная функции y будет равна:

y' = (3x)/(2√x) - 3.

2. Найти критические точки.

Для этого мы приравняем производную к нулю:

(3x)/(2√x) - 3 = 0.

Решим это уравнение:

• Переносим -3 вправо: (3x)/(2√x) = 3.
• Умножаем обе стороны на 2√x (при этом x > 0): 3x = 6√x.
• Делим обе стороны на 3: x = 2√x.
• Возводим обе стороны в квадрат: x² = 4x.
• Переносим все в одну сторону: x² - 4x = 0.
• Факторизуем: x(x - 4) = 0.
• Таким образом, x = 0 или x = 4.
3. Определить, где находится минимум.

Теперь нам нужно выяснить, какая из найденных критических точек соответствует минимуму. Для этого мы можем использовать второй производный тест или просто подставить значения в первую производную:

• Для x = 0: y'(0) не определена, так как √0 = 0.
• Для x = 4: подставляем в первую производную:

y'(4) = (3*4)/(2√4) - 3 = (12)/(4) - 3 = 3 - 3 = 0.

Теперь проверим знак производной вокруг точки x = 4:

• Для x < 4, например, x = 3: y'(3) = (3*3)/(2√3) - 3. Это положительное значение.
• Для x > 4, например, x = 5: y'(5) = (3*5)/(2√5) - 3. Это отрицательное значение.

Таким образом, у нас есть изменение знака производной: от положительного к отрицательному, что указывает на то, что x = 4 - это точка минимума.

4. Найти значение функции в точке минимума.

Теперь подставим x = 4 в исходную функцию, чтобы найти y:

y(4) = 4√4 - 3*4 + 17 = 4*2 - 12 + 17 = 8 - 12 + 17 = 13.

Итак, координаты точки минимума функции: (4, 13).