Как определить координаты точки минимума функции y=(x-7)^2(x+6) +3?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций координаты точки минимума функция y=(x-7)^2(x+6) +3 алгебра 11 класс нахождение минимума функции анализ функций Новый

Чтобы определить координаты точки минимума функции y = (x - 7)²(x + 6) + 3, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем производную функции

Сначала мы находим производную функции y по x. Для этого воспользуемся правилом произведения и правилом дифференцирования степенной функции.

• y = (x - 7)² * (x + 6) + 3

Обозначим u = (x - 7)² и v = (x + 6). Тогда:

• y = u * v + 3
• dy/dx = u' * v + u * v'

Теперь найдем u' и v':

• u' = 2(x - 7)
• v' = 1

Теперь подставим обратно:

• dy/dx = 2(x - 7)(x + 6) + (x - 7)² * 1

Упрощаем производную:

• dy/dx = 2(x - 7)(x + 6) + (x - 7)²

Шаг 2: Найдем критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

• 2(x - 7)(x + 6) + (x - 7)² = 0

Вынесем (x - 7) за скобки:

• (x - 7)(2(x + 6) + (x - 7)) = 0

Теперь у нас есть два случая:

• 1. x - 7 = 0, => x = 7
• 2. 2(x + 6) + (x - 7) = 0

Решим второй случай:

• 2x + 12 + x - 7 = 0
• 3x + 5 = 0
• x = -5/3

Шаг 3: Определим, является ли точка минимумом или максимумом

Теперь нам нужно проверить, является ли найденная точка минимумом или максимумом. Для этого мы можем использовать второй производной тест. Найдем вторую производную функции:

• d²y/dx² = d/dx [2(x - 7)(x + 6) + (x - 7)²]

Мы можем проделать аналогичные шаги, чтобы найти вторую производную, или подставить найденные значения x в первую производную и посмотреть, меняет ли она знак.

Шаг 4: Найдем значения функции в критических точках

Теперь подставим найденные значения x в исходную функцию, чтобы найти соответствующие y:

• Для x = 7: y = (7 - 7)²(7 + 6) + 3 = 0 + 3 = 3
• Для x = -5/3: y = ((-5/3) - 7)²((-5/3) + 6) + 3

Теперь подставим x = -5/3 в функцию и посчитаем.

Шаг 5: Сравнение значений

После вычисления значений y в критических точках, сравните их. Точка с наименьшим значением y будет точкой минимума.

В итоге, координаты точки минимума функции можно определить как (x, y), где x - значение, найденное в шаге 4, и y - соответствующее значение функции.