Как определить максимум функции f(x)=-2/3x^3+8x?

Алгебра 11 класс Максимум и минимум функции определение максимума функции максимум функции алгебра 11 класс анализ функции f(x)=-2/3x^3+8x

Чтобы определить максимум функции f(x) = -2/3x^3 + 8x, нам нужно выполнить несколько шагов. Мы будем использовать методы анализа функции, такие как нахождение производной и решение уравнения для критических точек.

1. Найдем производную функции:

   Производная функции f(x) обозначается f'(x) и показывает, как изменяется функция f(x) при изменении x. Для нашей функции:

   f'(x) = d/dx(-2/3x^3 + 8x) = -2x^2 + 8

2. Найдем критические точки:

   Критические точки находятся путем решения уравнения f'(x) = 0:

   -2x^2 + 8 = 0

   Перепишем уравнение:

   -2x^2 = -8

   x^2 = 4

   Теперь найдем корни:

   • x = 2
   • x = -2
3. Определим, является ли каждая критическая точка максимумом или минимумом:

   Для этого используем вторую производную:

   f''(x) = d/dx(-2x^2 + 8) = -4x

   Теперь подставим критические точки в f''(x):

   • Для x = 2: f''(2) = -4 * 2 = -8 (меньше 0, значит, максимум)
   • Для x = -2: f''(-2) = -4 * (-2) = 8 (больше 0, значит, минимум)
4. Найдем значение функции в точке максимума:

   Теперь мы знаем, что максимум находится в x = 2. Подставим это значение в исходную функцию:

   f(2) = -2/3(2^3) + 8(2) = -2/3(8) + 16 = -16/3 + 16 = -16/3 + 48/3 = 32/3

Ответ: Максимум функции f(x) = -2/3x^3 + 8x достигается в точке x = 2, и значение максимума равно 32/3.

Чтобы определить максимум функции f(x) = -2/3x^3 + 8x, необходимо выполнить несколько шагов, связанных с анализом производной функции. Данный процесс включает нахождение критических точек и определение их свойств.

1. Нахождение производной функции:

   Первым шагом является вычисление первой производной функции f(x). Производная функции показывает скорость изменения функции и помогает найти точки, в которых функция может достигать экстремумов (максимумов или минимумов).

   Вычислим производную:

   f'(x) = d/dx (-2/3x^3 + 8x) = -2x^2 + 8.

2. Поиск критических точек:

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не определена. В нашем случае производная f'(x) равна нулю:

   -2x^2 + 8 = 0.

   Решим это уравнение:

   • 2x^2 = 8;
   • x^2 = 4;
   • x = ±2.

   Таким образом, критические точки: x = 2 и x = -2.

3. Определение характера критических точек:

   Для того чтобы определить, является ли каждая из критических точек максимумом или минимумом, необходимо исследовать вторую производную функции:

   Вычислим вторую производную:

   f''(x) = d/dx (-2x^2 + 8) = -4x.

   Теперь подставим найденные критические точки в вторую производную:

   • Для x = 2: f''(2) = -4(2) = -8 (меньше нуля, значит, в точке x = 2 находится максимум);
   • Для x = -2: f''(-2) = -4(-2) = 8 (больше нуля, значит, в точке x = -2 находится минимум).
4. Нахождение значения максимума:

   Теперь, когда мы определили, что x = 2 является точкой максимума, мы можем найти значение функции в этой точке:

   f(2) = -2/3(2)^3 + 8(2) = -2/3(8) + 16 = -16/3 + 16 = -16/3 + 48/3 = 32/3.

Вывод: Максимум функции f(x) = -2/3x^3 + 8x достигается в точке x = 2, и значение максимума равно 32/3.