Как определить минимальное значение функции g(x) = 3x^5 – 5x^3?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций минимальное значение функции g(x) = 3x^5 – 5x^3 алгебра 11 класс нахождение минимума функции анализ функции Новый

Чтобы определить минимальное значение функции g(x) = 3x^5 – 5x^3, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем производную функции g(x)

Для начала найдем первую производную функции g(x). Это позволит нам определить критические точки, где функция может принимать минимальные или максимальные значения.

• g'(x) = d/dx (3x^5) - d/dx (5x^3)
• g'(x) = 15x^4 - 15x^2

Шаг 2: Упростим производную

Мы можем вынести общий множитель из производной:

• g'(x) = 15x^2 (x^2 - 1)

Шаг 3: Найдем критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

• 15x^2 (x^2 - 1) = 0

Это уравнение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

• 15x^2 = 0 → x = 0
• x^2 - 1 = 0 → x^2 = 1 → x = 1 или x = -1

Таким образом, критические точки: x = -1, x = 0, x = 1.

Шаг 4: Найдем значения функции в критических точках

Теперь подставим найденные критические точки в исходную функцию g(x):

• g(-1) = 3(-1)^5 - 5(-1)^3 = -3 + 5 = 2
• g(0) = 3(0)^5 - 5(0)^3 = 0
• g(1) = 3(1)^5 - 5(1)^3 = 3 - 5 = -2

Шаг 5: Определим минимальное значение

Теперь сравним значения функции в критических точках:

• g(-1) = 2
• g(0) = 0
• g(1) = -2

Минимальное значение функции g(x) достигается при x = 1 и равно -2.

Ответ: Минимальное значение функции g(x) = 3x^5 – 5x^3 равно -2, и оно достигается при x = 1.