Чтобы определить минимальные и максимальные значения функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 5, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Сначала находим первую производную функции f(x). Производная поможет нам найти критические точки, где функция может принимать свои максимальные или минимальные значения.

• f'(x) = 3x^2 - 12x.

Теперь мы должны найти критические точки, приравняв производную к нулю:

• 3x^2 - 12x = 0.

Решим это уравнение:

• 3x(x - 4) = 0.
• x = 0 или x = 4.

Теперь у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 4. Эти точки делят числовую ось на три интервала:

• (-∞, 0)
• (0, 4)
• (4, +∞)

Мы будем проверять знак производной на каждом из этих интервалов, чтобы определить, где функция возрастает, а где убывает.

Выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, 0) возьмем x = -1:
• f'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15 (положительно).
• Для интервала (0, 4) возьмем x = 2:
• f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) = 12 - 24 = -12 (отрицательно).
• Для интервала (4, +∞) возьмем x = 5:
• f'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 75 - 60 = 15 (положительно).

Теперь можем сделать выводы:

• На интервале (-∞, 0) производная положительна, значит, функция возрастает.
• На интервале (0, 4) производная отрицательна, значит, функция убывает.
• На интервале (4, +∞) производная снова положительна, значит, функция возрастает.

Таким образом, в точке x = 0 функция имеет максимум, а в точке x = 4 - минимум.

Теперь найдем значения функции в этих точках:

• f(0) = 0^3 - 6*0^2 + 5 = 5 (максимум).
• f(4) = 4^3 - 6*4^2 + 5 = 64 - 96 + 5 = -27 (минимум).

• Максимальное значение функции: 5 при x = 0.
• Минимальное значение функции: -27 при x = 4.