Чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции y=(x-2)³ на заданном интервале {-1; 2}, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции.

Сначала найдем производную функции y по x:

y = (x - 2)³

Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:

y' = 3(x - 2)²

2. Найти критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В данном случае, мы можем решить уравнение:

3(x - 2)² = 0

Это уравнение равно нулю, когда (x - 2)² = 0, следовательно, x = 2.

3. Проверить границы интервала.

Теперь нам нужно проверить значения функции на границах интервала и в критической точке:

• На границе x = -1:

y(-1) = (-1 - 2)³ = (-3)³ = -27

• На границе x = 2:

y(2) = (2 - 2)³ = 0³ = 0

• В критической точке x = 2:

Мы уже посчитали, что y(2) = 0.

4. Сравнить значения.

Теперь сравним найденные значения:

• y(-1) = -27
• y(2) = 0
5. Определить наибольшее и наименьшее значение.

Наименьшее значение функции на интервале {-1; 2} равно -27 (при x = -1), а наибольшее значение равно 0 (при x = 2).

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале {-1; 2} равно 0, а наименьшее значение равно -27.