Как определить наибольшее и наименьшее значение функции y=x^4-2x^2+3 на интервале [-3;2]?

Алгебра 11 класс Исследование функций Наибольшее значение функции наименьшее значение функции функция y=x^4-2x^2+3 интервал [-3;2] алгебра 11 класс Новый

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = x^4 - 2x^2 + 3 на заданном интервале [-3; 2], нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции:

   Сначала найдем производную функции, чтобы определить критические точки. Производная функции y будет:

   y' = 4x^3 - 4x

2. Найти критические точки:

   Для этого приравняем производную к нулю:

   4x^3 - 4x = 0

   Выносим общий множитель:

   4x(x^2 - 1) = 0

   Это уравнение равно нулю, если:

   • x = 0
   • x^2 - 1 = 0, что дает x = 1 и x = -1

   Таким образом, критические точки: x = -1, 0, 1.

3. Проверить значения функции в критических точках и на границах интервала:

   Теперь мы должны вычислить значения функции в критических точках и на границах интервала:

   • y(-3) = (-3)^4 - 2(-3)^2 + 3 = 81 - 18 + 3 = 66
   • y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2
   • y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 0 - 0 + 3 = 3
   • y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2
   • y(2) = 2^4 - 2(2)^2 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11
4. Сравнить полученные значения:

   Теперь сравним все вычисленные значения:

   • y(-3) = 66
   • y(-1) = 2
   • y(0) = 3
   • y(1) = 2
   • y(2) = 11

   Наименьшее значение функции на интервале [-3; 2] равно 2 (при x = -1 и x = 1), а наибольшее значение равно 66 (при x = -3).

Ответ: Наименьшее значение функции равно 2, наибольшее значение равно 66.