Чтобы определить промежутки монотонности функции f(x) = -1/x² + 2x², необходимо выполнить несколько шагов. Мы будем искать производную функции, а затем анализировать ее знаки.

1. Найдем производную функции f(x).

Для функции f(x) = -1/x² + 2x², применим правило дифференцирования:

• Производная от -1/x²: f'(x) = 2/x³
• Производная от 2x²: f'(x) = 4x

Таким образом, полная производная будет:

f'(x) = 2/x³ + 4x
2. Найдем критические точки.

Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. Сначала решим уравнение:

2/x³ + 4x = 0

Умножим обе стороны на x³ (при условии, что x ≠ 0):

2 + 4x⁴ = 0

Это уравнение не имеет действительных решений, так как 4x⁴ всегда неотрицательно, а 2 - положительное число. Таким образом, критических точек нет.

3. Определим области, где производная существует.

Производная f'(x) = 2/x³ + 4x существует для всех x, кроме x = 0, так как в этой точке происходит деление на ноль.

4. Исследуем знак производной на интервалах.

Теперь мы можем исследовать знак производной на интервалах:

• Интервал (-∞, 0):

Выберем, например, x = -1:

f'(-1) = 2/(-1)³ + 4*(-1) = -2 - 4 = -6 (отрицательно)
• Интервал (0, +∞):

Выберем, например, x = 1:

f'(1) = 2/(1)³ + 4*(1) = 2 + 4 = 6 (положительно)
5. Сделаем выводы о монотонности.

Теперь, основываясь на знаках производной, можем сделать выводы:

• На интервале (-∞, 0) функция f(x) убывает.
• На интервале (0, +∞) функция f(x) возрастает.

Итак, функция f(x) = -1/x² + 2x² убывает на промежутке (-∞, 0) и возрастает на промежутке (0, +∞).