Чтобы определить промежутки монотонности функции f(x) = -x^2 + 6x + 7, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции.

   Для начала найдем производную функции f(x). Производная функции показывает, как изменяется значение функции при изменении x. Мы используем правило дифференцирования для многочленов:

   f'(x) = -2x + 6.

2. Найти критические точки.

   Критические точки - это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Установим производную равной нулю:

   -2x + 6 = 0.

   Решим это уравнение:

   • -2x = -6
   • x = 3.

   Таким образом, у нас есть одна критическая точка: x = 3.

3. Определить знаки производной на интервалах.

   Теперь мы разделим числовую прямую на интервалы, используя найденную критическую точку:

   • Интервал 1: (-∞, 3)
   • Интервал 2: (3, +∞)

   Теперь нужно выбрать тестовые точки из каждого интервала и подставить их в производную:

   • Для интервала (-∞, 3) возьмем тестовую точку x = 0:

   f'(0) = -2(0) + 6 = 6 > 0 (функция возрастает).

   • Для интервала (3, +∞) возьмем тестовую точку x = 4:

   f'(4) = -2(4) + 6 = -2 < 0 (функция убывает).

4. Записать промежутки монотонности.

   На основе анализа знаков производной мы можем сделать вывод о монотонности функции:

   • Функция возрастает на интервале (-∞, 3).
   • Функция убывает на интервале (3, +∞).

Таким образом, мы определили промежутки монотонности функции f(x) = -x^2 + 6x + 7.