Как определить точку максимума функции y=log8(1+8x-x^2)+1?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций определение точки максимума функция y=log8 логарифмическая функция максимальное значение функции алгебра 11 класс Новый

Чтобы определить точку максимума функции y = log8(1 + 8x - x^2) + 1, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найти производную функции: Для начала, найдем производную функции y по x. Используем правило дифференцирования логарифмической функции.
2. Рассмотрим производную: Производная функции y будет равна:
• y' = (1 / (1 + 8x - x^2)) * (8 - 2x)
3. Найти критические точки: Устанавливаем производную равной нулю для поиска критических точек:
• 0 = (1 / (1 + 8x - x^2)) * (8 - 2x)
4. Решаем уравнение: Уравнение будет равно нулю, когда числитель равен нулю:
• 8 - 2x = 0
• 2x = 8
• x = 4
5. Проверить, есть ли максимум: Теперь нам нужно проверить, является ли найденная критическая точка максимумом. Для этого мы можем использовать второй производный тест или исследовать знак первой производной.
6. Второй производный тест: Найдем вторую производную функции:
• y'' = производная от y'
7. Подставляем x = 4: Если y''(4) < 0, то это точка максимума.
8. Определяем значение функции: Подставим x = 4 в исходную функцию, чтобы найти значение максимума:
• y(4) = log8(1 + 8*4 - 4^2) + 1
• y(4) = log8(1 + 32 - 16) + 1
• y(4) = log8(17) + 1

Таким образом, точка максимума функции y = log8(1 + 8x - x^2) + 1 находится в x = 4, а значение максимума равно log8(17) + 1.