Как определить точку минимума для функции y = x * корень из x - 6x + 22?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций точка минимума функция y алгебра 11 класс корень из x нахождение минимума функции Новый

Чтобы определить точку минимума функции y = x * корень из x - 6x + 22, мы будем использовать методы дифференцирования. Следуйте этим шагам:

1. Запишите функцию:

   y = x * √x - 6x + 22

2. Найдите производную функции:

   Для этого используем правило произведения и правило дифференцирования корня. Производная функции y будет выглядеть следующим образом:

   • y' = (1/2)x^(-1/2) * x + √x - 6
   • y' = (1/2)√x + √x - 6
   • y' = (3/2)√x - 6
3. Приравняйте производную к нулю:

   Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

   (3/2)√x - 6 = 0

4. Решите уравнение:

   Переносим 6 на правую сторону:

   (3/2)√x = 6

   Теперь умножаем обе стороны на 2/3:

   √x = 6 * (2/3) = 4

   Возводим обе стороны в квадрат:

   x = 16

5. Проверка второго производного теста:

   Теперь нам нужно найти вторую производную, чтобы определить, является ли эта точка минимумом:

   • y'' = (3/4)x^(-1/2)

   Подставляем x = 16:

   y''(16) = (3/4) * (1/4) = 3/16 > 0

   Так как вторая производная положительна, это означает, что в точке x = 16 находится минимум.

6. Найдите значение функции в этой точке:

   Теперь подставим x = 16 в исходную функцию, чтобы найти значение y:

   y = 16 * √16 - 6*16 + 22

   y = 16 * 4 - 96 + 22 = 64 - 96 + 22 = -10

Итак, точка минимума функции y = x * √x - 6x + 22 находится в точке (16, -10).