Как подробно решить систему неравенств: { x^2 + 2x > 0; |x + 1| ≤ 2 }?

Алгебра 11 класс Системы неравенств система неравенств решение неравенств алгебра 11 класс неравенства с модулем Квадратные неравенства Новый

Для решения системы неравенств { x^2 + 2x > 0; |x + 1| ≤ 2 } мы будем рассматривать каждое неравенство по отдельности, а затем найдем их пересечение.

Шаг 1: Решение неравенства x^2 + 2x > 0

Сначала преобразуем неравенство:

• Мы можем вынести x за скобки: x(x + 2) > 0.

Теперь найдем корни уравнения x(x + 2) = 0:

• Первый корень: x = 0.
• Второй корень: x + 2 = 0, отсюда x = -2.

Теперь у нас есть два корня: x = -2 и x = 0. Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -2)
• (-2, 0)
• (0, +∞)

Теперь определим знак выражения x(x + 2) в каждом из интервалов:

• Для интервала (-∞, -2): выберем, например, x = -3. Тогда: (-3)(-3 + 2) = -3 * -1 = 3 > 0.
• Для интервала (-2, 0): выберем x = -1. Тогда: (-1)(-1 + 2) = -1 * 1 = -1 < 0.
• Для интервала (0, +∞): выберем x = 1. Тогда: (1)(1 + 2) = 1 * 3 = 3 > 0.

Таким образом, неравенство x(x + 2) > 0 выполняется на интервалах:

• (-∞, -2) и (0, +∞).

Шаг 2: Решение неравенства |x + 1| ≤ 2

Неравенство |x + 1| ≤ 2 можно решить, разбив его на два случая:

• x + 1 ≤ 2
• -(x + 1) ≤ 2, что эквивалентно x + 1 ≥ -2.

Решим первое неравенство:

• x + 1 ≤ 2
• x ≤ 1.

Теперь решим второе неравенство:

• x + 1 ≥ -2
• x ≥ -3.

Таким образом, неравенство |x + 1| ≤ 2 выполняется на интервале:

• [-3, 1].

Шаг 3: Пересечение решений

Теперь нам нужно найти пересечение решений двух неравенств:

• Первое неравенство дает: (-∞, -2) ∪ (0, +∞).
• Второе неравенство дает: [-3, 1].

Теперь найдем пересечение:

• Пересечение (-∞, -2) и [-3, 1] будет [-3, -2).
• Пересечение (0, +∞) и [-3, 1] будет (0, 1].

Таким образом, общее решение системы неравенств:

Ответ: [-3, -2) ∪ (0, 1].