Для решения неравенства 2cos²(2x) >= 1.5, давайте следовать пошагово:

1. Перепишем неравенство. Начнем с того, что упростим неравенство:
• 2cos²(2x) >= 1.5.
• Разделим обе стороны на 2:
• cos²(2x) >= 0.75.
2. Извлечем корень. Поскольку мы имеем квадрат косинуса, извлечем корень из обеих сторон:
• cos(2x) >= √0.75 или cos(2x) <= -√0.75.
3. Найдем числовые значения. Вычислим √0.75:
• √0.75 = √(3/4) = √3 / 2.
• Таким образом, у нас есть два неравенства: cos(2x) >= √3/2 и cos(2x) <= -√3/2.
4. Решим первое неравенство. Рассмотрим cos(2x) >= √3/2:
• Косинус равен √3/2 в следующих углах:
• 2x = 30° + 360°k или 2x = 330° + 360°k, где k - целое число.
• Теперь найдем x:
• x = 15° + 180°k или x = 165° + 180°k.
5. Решим второе неравенство. Теперь рассмотрим cos(2x) <= -√3/2:
• Косинус равен -√3/2 в следующих углах:
• 2x = 150° + 360°k или 2x = 210° + 360°k.
• Теперь найдем x:
• x = 75° + 180°k или x = 105° + 180°k.
6. Соберем все решения. Теперь у нас есть все решения:
• x = 15° + 180°k,
• x = 165° + 180°k,
• x = 75° + 180°k,
• x = 105° + 180°k.
7. Запишем окончательный ответ. Объединим все найденные решения:
• x = 15° + 180°k,
• x = 165° + 180°k,
• x = 75° + 180°k,
• x = 105° + 180°k, где k - целое число.

Таким образом, мы нашли все решения неравенства 2cos²(2x) >= 1.5. Если у вас есть вопросы по какому-либо из шагов, не стесняйтесь спрашивать!