Как правильно решить уравнение: 3cosx - 2sin²x = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции cos и sin математические задачи уравнение cos и sin Новый

Для решения уравнения 3cos(x) - 2sin²(x) = 0, давайте выполним несколько шагов.

1. Используем тригонометрические тождества. Мы знаем, что sin²(x) = 1 - cos²(x). Подставим это в уравнение:
2. Подстановка:

   3cos(x) - 2(1 - cos²(x)) = 0

3. Упрощаем уравнение:

4. 3cos(x) - 2 + 2cos²(x) = 0

5. Переписываем уравнение:

6. 2cos²(x) + 3cos(x) - 2 = 0

7. Решаем квадратное уравнение: Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Используем формулу для решения квадратного уравнения:

8. cos(x) = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

   где a = 2, b = 3, c = -2.

9. Находим дискриминант:

10. D = b² - 4ac = 3² - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25.

11. Находим корни:

12. cos(x) = (-3 ± √25) / (2*2)

    cos(x) = (-3 ± 5) / 4

13. Находим два значения:
14. • cos(x) = (2) / 4 = 0.5
    • cos(x) = (-8) / 4 = -2 (это значение не подходит, так как косинус не может быть больше 1 или меньше -1).
15. Находим угол: Теперь найдем значение x для cos(x) = 0.5. Это значение соответствует углам:
16. • x = π/3 + 2kπ, где k – любое целое число.
    • x = -π/3 + 2kπ, где k – любое целое число.

Таким образом, общее решение уравнения 3cos(x) - 2sin²(x) = 0 будет:

x = π/3 + 2kπ и x = -π/3 + 2kπ, где k – любое целое число.