Как произвести операции с комплексными числами (5-3i) и (-1+2i)?

Алгебра 11 класс Комплексные числа операции с комплексными числами комплексные числа алгебра 11 класс сложение комплексных чисел вычитание комплексных чисел умножение комплексных чисел деление комплексных чисел Новый

Для выполнения операций с комплексными числами, давайте рассмотрим два числа: (5 - 3i) и (-1 + 2i). Мы можем выполнить несколько операций, таких как сложение, вычитание, умножение и деление. Давайте рассмотрим каждую из этих операций по очереди.

1. Сложение комплексных чисел:

Чтобы сложить два комплексных числа, мы складываем их действительные части и мнимые части отдельно.

• Действительные части: 5 + (-1) = 4
• Мнимые части: -3 + 2 = -1

Таким образом, результат сложения равен:

(5 - 3i) + (-1 + 2i) = 4 - 1i = 4 - i

2. Вычитание комплексных чисел:

Для вычитания также складываем действительные и мнимые части, но вычитаем их.

• Действительные части: 5 - (-1) = 5 + 1 = 6
• Мнимые части: -3 - 2 = -5

Таким образом, результат вычитания равен:

(5 - 3i) - (-1 + 2i) = 6 - 5i

3. Умножение комплексных чисел:

Для умножения комплексных чисел используем формулу (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2, где i^2 = -1.

• a = 5, b = -3, c = -1, d = 2
• ac = 5 * (-1) = -5
• adi = 5 * 2i = 10i
• bci = -3 * (-1) = 3i
• bdi^2 = -3 * 2 * (-1) = 6 (так как i^2 = -1)

Теперь складываем все части:

-5 + 10i + 3i + 6 = (-5 + 6) + (10i + 3i) = 1 + 13i

Таким образом, результат умножения равен:

(5 - 3i)(-1 + 2i) = 1 + 13i

4. Деление комплексных чисел:

Для деления комплексных чисел (a + bi) / (c + di) мы умножаем числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя:

Сопряженное значение для (-1 + 2i) — это (-1 - 2i).

Теперь умножим числитель и знаменатель:

• Числитель: (5 - 3i)(-1 - 2i)
• Знаменатель: (-1 + 2i)(-1 - 2i) = 1 + 4 = 5

Теперь вычислим числитель:

• ac = 5 * (-1) = -5
• adi = 5 * (-2i) = -10i
• bci = -3 * (-1) = 3i
• bdi^2 = -3 * (-2) = 6

Складываем:

-5 - 10i + 3i + 6 = (1 - 7i)

Теперь делим числитель на знаменатель:

(1 - 7i) / 5 = 1/5 - (7/5)i

Таким образом, результат деления равен:

(5 - 3i) / (-1 + 2i) = 1/5 - (7/5)i

Подводя итог, мы получили следующие результаты:

• Сложение: 4 - i
• Вычитание: 6 - 5i
• Умножение: 1 + 13i
• Деление: 1/5 - (7/5)i