Для проведения исследования функции f(x) = 2x^3 - 6x + 3 на возрастание, убывание и экстремумы, а также для построения графика, следуйте следующим шагам:

Чтобы определить, где функция возрастает или убывает, необходимо найти её производную f'(x).

Вычислим производную:

• f'(x) = d/dx (2x^3 - 6x + 3) = 6x^2 - 6.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Равняем производную нулю:

• 6x^2 - 6 = 0.
• x^2 = 1.
• x = ±1.

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 1 и x = -1.

Теперь нужно определить, где функция возрастает или убывает. Для этого исследуем знак производной на интервалах, определяемых критическими точками:

• Интервал (-∞, -1): выберем x = -2. f'(-2) = 6(-2)^2 - 6 = 24 - 6 = 18 (положительное).
• Интервал (-1, 1): выберем x = 0. f'(0) = 6(0)^2 - 6 = -6 (отрицательное).
• Интервал (1, +∞): выберем x = 2. f'(2) = 6(2)^2 - 6 = 24 - 6 = 18 (положительное).

Теперь мы можем составить таблицу знаков производной:

• (-∞, -1): f'(x) > 0 (функция возрастает).
• (-1, 1): f'(x) < 0 (функция убывает).
• (1, +∞): f'(x) > 0 (функция возрастает).

Теперь необходимо найти значения функции в критических точках, чтобы определить экстремумы:

• f(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 3 = -2 + 6 + 3 = 7.
• f(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 3 = 2 - 6 + 3 = -1.

Таким образом, у нас есть:

• Точка (-1, 7) - максимум.
• Точка (1, -1) - минимум.

Теперь, когда у нас есть информация о возрастании, убывании и экстремумах, можно построить график функции:

• Отметьте критические точки (-1, 7) и (1, -1) на координатной плоскости.
• Проведите линии, показывающие, что функция возрастает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞), и убывает на интервале (-1, 1).
• Не забудьте отметить поведение функции на границах интервалов.

В результате вы получите график функции, который показывает все важные характеристики: точки максимума и минимума, а также интервалы возрастания и убывания.