Чтобы провести исследование функции на монотонность и экстремумы, нам нужно выполнить несколько шагов. Рассмотрим функцию f(x) = 3 - 5x - x^2.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Для этого мы воспользуемся правилами дифференцирования. Производная функции f(x) будет:

• f'(x) = -5 - 2x

Шаг 2: Найдем критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Установим производную равной нулю:

• -5 - 2x = 0

Решим это уравнение:

• -2x = 5
• x = -5/2

Шаг 3: Исследуем знак производной.

Теперь мы должны определить, где производная положительна, а где отрицательна. Для этого рассмотрим промежутки:

• 1. x < -5/2
• 2. x = -5/2
• 3. x > -5/2

Выберем тестовые точки из каждого промежутка:

• Для x = -3 (x < -5/2): f'(-3) = -5 - 2*(-3) = 1 (положительно)
• Для x = -2 (x > -5/2): f'(-2) = -5 - 2*(-2) = -1 (отрицательно)

Таким образом, производная положительна на промежутке (-∞, -5/2) и отрицательна на промежутке (-5/2, +∞). Это означает, что функция возрастает на первом промежутке и убывает на втором.

Шаг 4: Определим экстремумы.

Так как функция возрастает до x = -5/2 и убывает после, то в точке x = -5/2 у нас есть максимум. Теперь найдем значение функции в этой точке:

• f(-5/2) = 3 - 5*(-5/2) - (-5/2)^2 = 3 + 12.5 - 6.25 = 9.25

Таким образом, у нас есть максимум в точке (-5/2, 9.25).

Шаг 5: Построим график функции.

На графике мы можем отметить максимум в точке (-5/2, 9.25), а также увидеть, что функция убывает после этой точки и возрастает до нее.

Итак, мы провели исследование функции f(x) = 3 - 5x - x^2:

• Производная: f'(x) = -5 - 2x
• Критическая точка: x = -5/2
• Максимум: (-5/2, 9.25)
• Функция возрастает на (-∞, -5/2) и убывает на (-5/2, +∞)

Это исследование позволяет нам понять поведение функции и ее экстремумы.