Как решить неравенство 11log13(x^2 - 4x - 5) <= 12 + log13((x + 11)^11 / (x - 5))?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами решение неравенства алгебра 11 класс логарифмы неравенства с логарифмами математические методы логарифмическое неравенство как решить неравенство алгебраические выражения Новый

Чтобы решить неравенство 11log13(x^2 - 4x - 5) > 0, начнем с того, что логарифм положителен только тогда, когда его аргумент больше нуля. Поэтому сначала найдем, при каких значениях x выражение x^2 - 4x - 5 будет положительным.

1. Найдем корни квадратного уравнения x^2 - 4x - 5 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
• Корни уравнения: x1 = (4 + √36) / 2 = (4 + 6) / 2 = 5 и x2 = (4 - √36) / 2 = (4 - 6) / 2 = -1.

2. Теперь у нас есть корни x1 = 5 и x2 = -1. На числовой прямой эти корни делят ее на три интервала:

• (-∞, -1)
• (-1, 5)
• (5, +∞)

3. Проверим знак выражения x^2 - 4x - 5 в каждом из интервалов:

• Для интервала (-∞, -1): возьмем, например, x = -2. Подставляем: (-2)^2 - 4*(-2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 (положительное).
• Для интервала (-1, 5): возьмем, например, x = 0. Подставляем: 0^2 - 4*0 - 5 = -5 (отрицательное).
• Для интервала (5, +∞): возьмем, например, x = 6. Подставляем: 6^2 - 4*6 - 5 = 36 - 24 - 5 = 7 (положительное).

Таким образом, выражение x^2 - 4x - 5 положительно на интервалах (-∞, -1) и (5, +∞).

4. Теперь определим, где логарифм будет положителен:

• log13(x^2 - 4x - 5) > 0, когда x^2 - 4x - 5 > 1.

5. Решим неравенство x^2 - 4x - 5 > 1:

• Перепишем неравенство: x^2 - 4x - 6 > 0.
• Найдем корни уравнения x^2 - 4x - 6 = 0 с помощью дискриминанта:
• D = (-4)^2 - 4 * 1 * (-6) = 16 + 24 = 40.
• Корни: x1 = (4 + √40) / 2 и x2 = (4 - √40) / 2.

6. Приблизительно вычислим корни:

• √40 ≈ 6.32, тогда x1 ≈ (4 + 6.32) / 2 ≈ 5.16 и x2 ≈ (4 - 6.32) / 2 ≈ -1.16.

7. Теперь снова проверим знаки в интервалах, образованных корнями -1.16 и 5.16:

• (-∞, -1.16): возьмем, например, x = -2. Подставляем: (-2)^2 - 4*(-2) - 6 = 4 + 8 - 6 = 6 (положительное).
• (-1.16, 5.16): возьмем, например, x = 0. Подставляем: 0^2 - 4*0 - 6 = -6 (отрицательное).
• (5.16, +∞): возьмем, например, x = 6. Подставляем: 6^2 - 4*6 - 6 = 36 - 24 - 6 = 6 (положительное).

8. Таким образом, неравенство x^2 - 4x - 6 > 0 выполняется на интервалах (-∞, -1.16) и (5.16, +∞).

9. Объединяя все условия, получаем, что решение исходного неравенства 11log13(x^2 - 4x - 5) > 0 будет в интервале:

(-∞, -1.16) U (5.16, +∞).

Таким образом, это и есть ответ на ваше неравенство.