Для решения неравенства 2sin²x + √3sinx - 3 ≥ 0, начнем с замены переменной. Обозначим sinx как t. Тогда наше неравенство преобразуется в:

2t² + √3t - 3 ≥ 0.

Теперь мы имеем квадратное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

2t² + √3t - 3 = 0.

Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 2, b = √3, c = -3.

Сначала найдем дискриминант:

• D = b² - 4ac = (√3)² - 4 * 2 * (-3) = 3 + 24 = 27.

Теперь подставим дискриминант в формулу:

• t = ( -√3 ± √27 ) / (2 * 2) = ( -√3 ± 3√3 ) / 4.

Теперь найдем корни:

• t₁ = ( -√3 + 3√3 ) / 4 = (2√3) / 4 = √3 / 2,
• t₂ = ( -√3 - 3√3 ) / 4 = (-4√3) / 4 = -√3.

Теперь у нас есть два корня: t₁ = √3 / 2 и t₂ = -√3.

Теперь необходимо определить, на каких интервалах неравенство 2t² + √3t - 3 ≥ 0 выполняется. Для этого рассмотрим знаки функции на интервалах, определяемых корнями:

• (-∞, -√3),
• (-√3, √3 / 2),
• (√3 / 2, +∞).

Теперь проверим знак функции в каждом из этих интервалов:

1. Выберем t = -2 (в интервале (-∞, -√3)):
   • 2(-2)² + √3(-2) - 3 = 8 - 2√3 - 3 = 5 - 2√3 > 0.
2. Выберем t = 0 (в интервале (-√3, √3 / 2)):
   • 2(0)² + √3(0) - 3 = -3 < 0.
3. Выберем t = 1 (в интервале (√3 / 2, +∞)):
   • 2(1)² + √3(1) - 3 = 2 + √3 - 3 = -1 + √3 > 0.

Теперь мы знаем, что неравенство выполняется на интервалах:

• (-∞, -√3) и (√3 / 2, +∞).

Не забудем, что t = sinx. Теперь нужно найти значения x, при которых sinx = t:

• Для t₁ = √3 / 2: x = π/3 + 2kπ и x = 2π/3 + 2kπ, где k - целое число.
• Для t₂ = -√3: x = 7π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, окончательный ответ на неравенство 2sin²x + √3sinx - 3 ≥ 0:

x ∈ (-∞, arcsin(-√3)) ∪ (arcsin(√3 / 2) + 2kπ, +∞), где k - целое число.