Как решить неравенство: 3 / (2^(2-x^2) - 1)^2 - 4 / (2^(2-x^2) - 1) + 1 ≥ 0?

Алгебра 11 класс Неравенства с рациональными выражениями решение неравенства алгебра 11 класс неравенства с дробями математические неравенства алгебраические уравнения методы решения неравенств Новый

Для решения неравенства:

3 / (2^(2-x^2) - 1)^2 - 4 / (2^(2-x^2) - 1) + 1 ≥ 0

начнем с упрощения выражения. Давайте введем замену:

y = 2^(2-x^2) - 1

Тогда неравенство можно переписать как:

3 / y^2 - 4 / y + 1 ≥ 0

Теперь умножим все части неравенства на y² (при условии, что y ≠ 0), чтобы избавиться от дробей. Неравенство изменится на:

3 - 4y + y^2 ≥ 0

Перепишем это неравенство в стандартной форме:

y^2 - 4y + 3 ≥ 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения:

• Используем формулу для нахождения корней: y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -4, c = 3.
• Вычисляем дискриминант: D = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4.
• Теперь находим корни:
• y1 = (4 + √4) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3
• y2 = (4 - √4) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1

Корни y = 1 и y = 3. Теперь мы можем разложить квадратное неравенство:

(y - 1)(y - 3) ≥ 0

Теперь определим знаки произведения (y - 1)(y - 3) на промежутках:

• y < 1: произведение отрицательное.
• y = 1: произведение равно нулю.
• 1 < y < 3: произведение отрицательное.
• y = 3: произведение равно нулю.
• y > 3: произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется при:

y ≤ 1 или y ≥ 3

Теперь вернемся к исходной замене:

2^(2 - x^2) - 1 ≤ 1 и 2^(2 - x^2) - 1 ≥ 3

Решим первое неравенство:

2^(2 - x^2) ≤ 2

Это эквивалентно:

2 - x^2 ≤ 1

-x^2 ≤ -1

x^2 ≥ 1

|x| ≥ 1

То есть:

x ≤ -1 или x ≥ 1

Теперь решим второе неравенство:

2^(2 - x^2) ≥ 4

Это эквивалентно:

2 - x^2 ≥ 2

-x^2 ≥ 0

x^2 ≤ 0

Это неравенство выполняется только при:

x = 0

Теперь объединим оба условия:

• Первое условие: x ≤ -1 или x ≥ 1
• Второе условие: x = 0

Таким образом, итоговый ответ:

x ≤ -1 или x ≥ 1

Решение неравенства: x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, +∞)