Как решить неравенство: (x^2-6x+8)(x^2+x-6)/(x^2-6x+9) >= 0?

Алгебра 11 класс Неравенства с рациональными выражениями решение неравенства алгебра 11 класс неравенства с дробями квадратные выражения алгебраические методы Новый

Чтобы решить неравенство (x^2 - 6x + 8)(x^2 + x - 6)/(x^2 - 6x + 9) >= 0, мы будем следовать пошагово. Начнем с анализа каждого из множителей и делителей.

1. Найдем корни числителя:
   • Первый множитель (x^2 - 6x + 8) можно разложить на множители или найти его корни с помощью дискриминанта:
   • Дискриминант D = (-6)^2 - 4*1*8 = 36 - 32 = 4. Положительный дискриминант указывает на два различных корня:
   • Корни: x1 = (6 + 2)/2 = 4 и x2 = (6 - 2)/2 = 2.
2. Второй множитель (x^2 + x - 6) также найдем через дискриминант:
   • D = 1^2 - 4*1*(-6) = 1 + 24 = 25. Положительный дискриминант также указывает на два корня:
   • Корни: x1 = (-1 + 5)/2 = 2 и x2 = (-1 - 5)/2 = -3.
3. Теперь найдем корни знаменателя (x^2 - 6x + 9):
   • D = (-6)^2 - 4*1*9 = 36 - 36 = 0. Здесь один корень:
   • Корень: x = 6/2 = 3.

Теперь мы имеем следующие критические точки: 2, 4, -3 и 3. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы, которые мы будем исследовать:

• (-∞, -3)
• (-3, 2)
• (2, 3)
• (3, 4)
• (4, +∞)

Теперь проверим знак выражения в каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞, -3): Выберем x = -4:
• (16 + 24 + 8)/(16 + 24 + 9) = положительное.
2. Для интервала (-3, 2): Выберем x = 0:
• (8)(-6)/(9) = отрицательное.
3. Для интервала (2, 3): Выберем x = 2.5:
• (0.25 - 15 + 8)(6.25 + 2.5 - 6)/(0.25 - 15 + 9) = положительное.
4. Для интервала (3, 4): Выберем x = 3.5:
• (2.25 - 21 + 8)(12.25 + 3.5 - 6)/(2.25 - 21 + 9) = отрицательное.
5. Для интервала (4, +∞): Выберем x = 5:
• (25 - 30 + 8)(25 + 5 - 6)/(25 - 30 + 9) = положительное.

Теперь мы можем составить знак выражения:

• (-∞, -3): положительное
• (-3, 2): отрицательное
• (2, 3): положительное
• (3, 4): отрицательное
• (4, +∞): положительное

Теперь нам нужно учесть, что в нашем неравенстве мы ищем, когда выражение больше или равно нулю. Таким образом, учитываем:

• Корни числителя (2, 4) и корень знаменателя (3) должны быть учтены:
• На границах: x = 2 и x = 4 включаем, так как они делают выражение равным нулю.
• На x = 3 не включаем, так как это точка разрыва.

Следовательно, решение неравенства:

x ∈ (-∞, -3) ∪ [2, 3) ∪ (4, +∞)